Línea isotrópica

En la geometría de formas cuadráticas , una línea isótropa o línea nula es una línea para la cual la forma cuadrática aplicada al vector de desplazamiento entre cualquier par de sus puntos es cero. Una línea isótropa se presenta solo con una forma cuadrática isótropa , y nunca con una forma cuadrática definida .

Utilizando geometría compleja , Edmond Laguerre fue el primero en sugerir la existencia de dos líneas isótropas que pasan por el punto ( α , β ) y que dependen de la unidad imaginaria i : ^[1]

Primer sistema:${\displaystyle (y-\beta )=(x-\alpha )i,}$

Segundo sistema:${\displaystyle (y-\beta )=-i(x-\alpha ).}$

Laguerre interpretó entonces estas líneas como geodésicas :

Una propiedad esencial de las líneas isótropas, y que puede utilizarse para definirlas, es la siguiente: la distancia entre dos puntos cualesquiera de una línea isótropa situada a una distancia finita en el plano es cero. En otros términos, estas líneas satisfacen la ecuación diferencial d s ² = 0 . Sobre una superficie arbitraria se pueden estudiar curvas que satisfacen esta ecuación diferencial; estas curvas son las líneas geodésicas de la superficie, y también las llamamos líneas isótropas . ^{[1] : 90}

En el plano proyectivo complejo , los puntos se representan mediante coordenadas homogéneas y las líneas mediante coordenadas homogéneas . Una línea isótropa en el plano proyectivo complejo satisface la ecuación: ^[2]${\estilo de visualización (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$

${\displaystyle a_{3}(x_{2}\pm ix_{1})=(a_{2}\pm ia_{1})x_{2}.}$

En términos del subespacio afín x ₃ = 1 , una línea isótropa que pasa por el origen es

${\displaystyle x_{2}=\pm ix_{1}.}$

En geometría proyectiva, las líneas isótropas son las que pasan por los puntos circulares en el infinito .

En la geometría ortogonal real de Emil Artin , las líneas isótropas se presentan en pares:

Un plano no singular que contiene un vector isótropo se denominará plano hiperbólico . Siempre puede estar abarcado por un par n , m de vectores que satisfacen${\displaystyle {\mathbf {n}}^{2}={\mathbf {m}}^{2}=0,\quad {\mathbf {nm}}=1.}$

Llamaremos a cualquier par ordenado n , m un par hiperbólico. Si V es un plano no singular con geometría ortogonal y n ≠ 0 es un vector isótropo de V , entonces existe precisamente un m en V tal que n , m es un par hiperbólico. Los vectores x n e y m son entonces los únicos vectores isótropos de V . ^[3]

Las líneas isótropas se han utilizado en los escritos cosmológicos para transportar la luz. Por ejemplo, en una enciclopedia matemática, la luz está formada por fotones : "La línea de universo de una masa en reposo cero (como un modelo no cuántico de un fotón y otras partículas elementales de masa cero) es una línea isótropa". ^[4] Para las líneas isótropas que pasan por el origen, un punto particular es un vector nulo , y la colección de todas esas líneas isótropas forma el cono de luz en el origen.

Élie Cartan amplió el concepto de líneas isótropas a multivectores en su libro sobre espinores en tres dimensiones . ^[5]

• Pete L. Clark, Formas cuadráticas capítulo I: teoría de Witts de la Universidad de Miami en Coral Gables, Florida .
• O. Timothy O'Meara (1963, 2000) Introducción a las formas cuadráticas , página 94