Probabilidad actual

En mecánica cuántica no relativista, la corriente de probabilidad j de la función de onda Ψ de una partícula de masa m en una dimensión se define como ^{[ 2 ].}$${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$ dónde

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ;
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$denota el conjugado complejo de la función de onda ;
• ${\displaystyle \Re }$denota la parte real ;
• ${\displaystyle \Im }$denota la parte imaginaria .

Nótese que la probabilidad actual es proporcional a un Wronskiano.${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

En tres dimensiones, esto se generaliza a $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Estoy \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$ dónde${\displaystyle \nabla }$denota el operador del o gradiente . Esto se puede simplificar en términos del operador de momento cinético , $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ para obtener $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi +\Psi \left(\mathbf {\hat {p}} \Psi \right)^{*}\right)\,.}$$

Estas definiciones utilizan la base de posición (es decir, para una función de onda en el espacio de posición ), pero también es posible el espacio de momento . De hecho, se puede escribir el operador de corriente de probabilidad como

${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {\hat {p}} |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |+|\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\mathbf {\hat {p}} }{2m}}}$

que no dependen de una elección particular de base. La corriente de probabilidad es entonces la esperanza de este operador,

${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\langle \Psi (t)|{\hat {\mathbf {j} }}(\mathbf {r} )|\Psi (t)\rangle .}$

La definición anterior debe modificarse para un sistema en un campo electromagnético externo . En unidades del SI , una partícula cargada de masa m y carga eléctrica q incluye un término debido a la interacción con el campo electromagnético; ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$ donde A = A ( r , t ) es el potencial vectorial magnético . El término q A tiene dimensiones de momento. Nótese que${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$Aquí se utiliza el momento canónico , que no es invariante de gauge , a diferencia del operador de momento cinético.${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$.

En unidades gaussianas : $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$ donde c es la velocidad de la luz .

Si la partícula tiene espín , tiene un momento magnético correspondiente , por lo que es necesario agregar un término adicional que incorpore la interacción del espín con el campo electromagnético.

Según el Curso de Física Teórica de Landau-Lifschitz , la densidad de corriente eléctrica se expresa en unidades gaussianas: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Y en unidades del SI:$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Por lo tanto, la corriente de probabilidad (densidad) está en unidades del SI:$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

donde S es el vector de espín de la partícula con momento magnético de espín μ _S correspondiente y número cuántico de espín s .

Es dudoso que esta fórmula sea válida para partículas con una estructura interna. El neutrón tiene carga cero pero momento magnético distinto de cero, por lo que${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$sería imposible (excepto${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$(también sería cero en este caso). Para partículas compuestas con una carga distinta de cero, como el protón que tiene un número cuántico de espín s=1/2 y μ _S = 2,7927· μ _N o el deuterón (núcleo H-2) que tiene s=1 y μ _S =0,8574·μ _N ^{[ 5 ]} , es matemáticamente posible pero dudoso.

La definición de corriente de probabilidad y la ecuación de Schrödinger se pueden utilizar para derivar la ecuación de continuidad , que tiene exactamente las mismas formas que las de la hidrodinámica y el electromagnetismo . ^{[ 6 ]}

Para alguna función de onda Ψ , sea:

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$Sea la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen, * denota el conjugado complejo ). Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}\left[\left(\nabla ^{2}\psi \right)\psi ^{*}-\psi \left(\nabla ^{2}\psi ^{*}\right)\right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\end{aligned}}}$$

donde V es cualquier volumen y S es el límite de V.

Esta es la ley de conservación de la probabilidad en mecánica cuántica. Su forma integral se expresa como:

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$dónde$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$es la corriente de probabilidad o flujo de probabilidad (flujo por unidad de área).

Aquí, igualando los términos dentro de la integral se obtiene la ecuación de continuidad para la probabilidad:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$y la ecuación integral también puede reformularse utilizando el teorema de la divergencia como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

En particular, si Ψ es una función de onda que describe una sola partícula, la integral del primer término de la ecuación anterior, sin derivada temporal, es la probabilidad de obtener un valor dentro de V cuando se mide la posición de la partícula. El segundo término es entonces la tasa a la que la probabilidad sale del volumen V. En conjunto, la ecuación establece que la derivada temporal de la probabilidad de que la partícula se mida en V es igual a la tasa a la que la probabilidad entra en V.

Al tomar el límite de la integral de volumen para incluir todas las regiones del espacio, una función de onda bien comportada que tiende a cero en el infinito en el término de la integral de superficie implica que la derivada temporal de la probabilidad total es cero, es decir, se conserva la condición de normalización. ^{[ 7 ]} Este resultado concuerda con la naturaleza unitaria de los operadores de evolución temporal que preservan la longitud del vector por definición.

La probabilidad (4-)corriente surge del teorema de Noether aplicado al lagrangiano , la densidad lagrangiana de Klein-Gordon.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )}$$ del campo escalar complejo$\phi$ :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C} . Esto es invariante bajo la transformación de simetría.$${\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.}$$ Definición$\delta \phi =\phi '-\phi$encontramos la corriente de Noether $${\displaystyle j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d{\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu }\phi )}}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu }\phi ^{*})}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )}$$que satisface la ecuación de continuidad. Aquí${\displaystyle \mathbf {Q} _{r}}$es el generador de la simetría, que es${\displaystyle {\frac {d(\delta \mathbf {q} )}{d\alpha _{r}}}}$en el caso de un solo parámetro${\displaystyle \alpha }$.

La ecuación de continuidad${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$está satisfecho. Sin embargo, tenga en cuenta que ahora, el análogo de la densidad de probabilidad no lo es.${\displaystyle \phi \phi ^{*}}$sino más bien${\displaystyle \phi ^{*}\partial _{t}\phi -\phi \partial _{t}\phi ^{*}}$. Dado que esta cantidad ahora puede ser negativa, debemos interpretarla como una densidad de carga, con una densidad de corriente asociada y una 4-corriente .

En regiones donde se presenta un potencial escalonado o una barrera de potencial , la corriente de probabilidad está relacionada con los coeficientes de transmisión y reflexión, respectivamente T y R ; estos miden la medida en que las partículas se reflejan en la barrera de potencial o se transmiten a través de ella. Ambos satisfacen: $${\displaystyle T+R=1\,,}$$ donde T y R pueden definirse mediante: $${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$ donde j _inc , j _ref , j _trans son las corrientes de probabilidad incidente, reflejada y transmitida respectivamente, y las barras verticales indican las magnitudes de los vectores de corriente. La relación entre T y R se puede obtener a partir de la conservación de la probabilidad: $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

En términos de un vector unitario n normal a la barrera, estos son equivalentes: $${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$ donde se requieren valores absolutos para evitar que T y R sean negativos.

Para una onda plana que se propaga en el espacio: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$ La densidad de probabilidad es constante en todas partes; $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$ (es decir, las ondas planas son estados estacionarios ) pero la corriente de probabilidad es distinta de cero: el cuadrado de la amplitud absoluta de la onda multiplicado por la velocidad de la partícula; $${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

lo que ilustra que la partícula puede estar en movimiento incluso si su densidad de probabilidad espacial no tiene una dependencia temporal explícita.

Para una partícula en una caja , en una dimensión espacial y de longitud L , confinada a la región${\displaystyle 0<x<L}$, los autoestados de energía son $${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$ y cero en cualquier otro lugar. Las corrientes de probabilidad asociadas son $${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$ desde$${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$