Elemento de la matriz (física)

En física, en particular en la teoría de perturbaciones cuánticas , el elemento de matriz se refiere al operador lineal de un hamiltoniano modificado que utiliza la notación de Dirac . De hecho, se refiere a los elementos de matriz de un operador hamiltoniano que sirve para calcular probabilidades de transición entre diferentes estados cuánticos.

El elemento de matriz considera el efecto del hamiltoniano recientemente modificado (es decir, la superposición lineal del hamiltoniano no perturbado más el potencial de interacción) sobre el estado cuántico .

Los elementos de la matriz son importantes en la física atómica , nuclear y de partículas .

En términos simples, decimos que un hamiltoniano o algún otro operador/observable causará una transición de un estado cuántico inicial a un estado cuántico final si se cumple lo siguiente: donde la última línea es la amplitud de probabilidad de transición causada por algún operador y el elemento de matriz que encapsula esta información. En efecto, el cálculo implica encontrar los elementos de matriz del operador H que da esta información de transición entre dos estados. Se pueden ver ejemplos de esto en física nuclear, como en la transición de desintegración beta , la desintegración beta doble sin neutrinos y la desintegración beta doble . ${\displaystyle |i\rangle}$${\displaystyle |f\rangle}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f|{\hat {H}}|i\rangle =M^{i,f}\neq 0\\|\langle f|{\hat {H}}|i\rangle |^{2}=|M^{i,f}|^{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle M^{i,f}}$

Consideremos un sistema inicial no perturbado que puede representarse mediante el siguiente operador hamiltoniano: donde V es la energía potencial del sistema y m la masa de una partícula. Resolviendo la ecuación de Schrödinger para una función de onda para el conjunto de soluciones separables, obtenemos la siguiente ecuación propia para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: Aquí, los superíndices representan el nivel de corrección de la perturbación donde 0 representa el sistema no perturbado y cualquier entero n > 0 representa los niveles de corrección del sistema (por ejemplo, representa la corrección de primer orden de las energías propias debido a la perturbación). El subíndice en el operador hamiltoniano indica la base sobre la que se representa la matriz hamiltoniana. En este caso, está representada por el conjunto base. Esto nos permite poner el hamiltoniano en forma de matriz diagonal donde los elementos diagonales son los únicos elementos de la matriz distintos de cero de este operador. $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V,}$$${\displaystyle |\Psi \rangle }$$${\displaystyle {\hat {H}}_{\psi }^{(0)}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{n}^{0}|\psi _{n} ^{0}\rangle .}$$$Estilo de visualización E_{n}^{1}}$${\displaystyle \{|\psi _{n}^{0}\rangle |n\in \mathbb {N} \}}$

Debido a la ortonormalidad de los estados propios donde , podemos observar fácilmente que los elementos de la matriz fuera de la diagonal son cero: Físicamente, los elementos de la matriz aquí representan la amplitud de probabilidad de transición para que una partícula en el estado propio n pase al estado propio m debido a la interacción gobernada por el hamiltoniano no perturbado. Dado que en el sistema hamiltoniano no perturbado estos estados propios están desacoplados, no provocarán que se produzcan dichas transiciones. Matemáticamente, dado que todos los elementos fuera de la diagonal son 0, los elementos de la matriz calculados por el valor esperado anterior siempre devolverán 0. ${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =\delta _{nm}}$$${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}_{\psi }^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{m} \delta_{nm}.}$$${\displaystyle {\sombrero {H}}_{\psi }^{(0)}}$

Supongamos que perturbamos el sistema mediante una adición lineal de un nuevo hamiltoniano de interacción o perturbación , por lo que nuestro nuevo hamiltoniano tomará la siguiente forma: donde representa la fuerza de la perturbación y va de 0 a 1. Este nuevo hamiltoniano de interacción puede tener elementos fuera de la diagonal V' que no sean cero y, por lo tanto, al realizar los mismos cálculos que antes para los elementos de la matriz, se obtiene: Este resultado establece que al agregar una perturbación al hamiltoniano no perturbado, existe una probabilidad distinta de cero de que los estados propios hagan la transición entre sí. Un ejemplo de esto puede ser la función de onda del electrón en el átomo de hidrógeno y los electrones en helio . Si los estados propios de la función de onda del electrón se pueden representar mediante el hamiltoniano no perturbado, donde -energía potencial representa la interacción protón-electrón; el hamiltoniano del átomo de helio se verá similar al hidrógeno con el término adicional que ahora representa las nuevas interacciones electrón-electrón, ya que el helio tiene un electrón más que el hidrógeno. De hecho, esta interacción electrón-electrón puede representarse sucintamente mediante el nuevo término de interacción. Esta perturbación adicional de energía en el sistema de hidrógeno inicial (la adición de un nuevo electrón) provocará la transición de los estados propios, ya que la interacción electromagnética provocará el acoplamiento entre los electrones. ${\displaystyle {\hat {H}}^{int}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\psi }^{(0)}+\lambda {\hat {H}}^{int},}$$${\estilo de visualización \lambda}$$${\displaystyle \langle \psi _ {m}^{0}|{\hat {H}}^{int}|\psi _ {n}^{0}\rangle =V'.}$$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle {\hat {H}}^{int}=V'}$

Esto hace que el cálculo de los elementos de la matriz del hamiltoniano de interacción sea muy importante para encontrar los niveles de energía y las funciones de onda de partículas en diferentes elementos atómicos y nucleidos. Este problema del hamiltoniano de muchos cuerpos se vuelve muy complicado con la incorporación de más electrones, protones y neutrones a medida que avanzamos hacia otros elementos de la tabla periódica.

• La regla de oro de Fermi