hipótesis de homotopía

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, la hipótesis de homotopía de Grothendieck afirma, en términos de teoría de homotopía , que los ∞-grupoides son espacios .

Se afirmó que una versión de la hipótesis había sido probada en el artículo de 1991 de Kapranov y Voevodsky . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Su prueba resultó ser defectuosa y su resultado, en la forma interpretada por Carlos Simpson ^{[ 2 ]} , ahora se conoce como la conjetura de Simpson . ^{[ 3 ]}

En la teoría de categorías superiores , se considera un prehaz con valores espaciales en lugar de un prehaz con valores de conjuntos, como en la teoría de categorías ordinaria. En virtud de la hipótesis de homotopía, un espacio en este caso puede transformarse en un ∞-grupoide.

Una formulación precisa de la hipótesis depende en gran medida de la definición de un ∞-grupoide. Una definición es que, imitando el caso de la categoría ordinaria, un ∞-grupoide es una ∞-categoría en la que cada morfismo es invertible o, equivalentemente, su categoría de homotopía es un grupoide.

Ahora bien, si una ∞-categoría se define como un conjunto simplicial que satisface la condición débil de Kan, como se hace comúnmente hoy en día, entonces los ∞-grupoides equivalen exactamente a complejos de Kan (= conjuntos simpliciales con la condición de Kan) por el siguiente argumento. Si${\displaystyle X}$es un complejo de Kan (visto como una ∞-categoría) y${\displaystyle f}$un morfismo en él, considere${\displaystyle \sigma$ :\Lambda _{0}^{2}\to X} desde el cuerno tal que${\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=\operatorname {id} }$. Por la condición de Kan,${\displaystyle \sigma }$se extiende a${\displaystyle {\overline {\sigma }}:\Delta ^{2}\to X}$y la imagen${\displaystyle g={\overline {\sigma }}(1\to 2)}$es una inversa izquierda de${\displaystyle f}$. Similarmente,${\displaystyle f}$tiene un inverso derecho y, por lo tanto, es invertible. El recíproco, que un ∞-grupoide es un complejo de Kan, es menos trivial y se debe a Joyal (véase el teorema de Joyal ). ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Debido a lo anterior, es común definir los ∞-grupoides simplemente como complejos de Kan. Ahora bien, un teorema de Milnor y la aproximación CW afirman que los complejos de Kan determinan completamente la teoría de homotopía de espacios topológicos (razonables). Por lo tanto, esto esencialmente prueba la hipótesis. En particular, si los ∞-grupoides se definen como complejos de Kan (evitando el resultado de Joyal), entonces la hipótesis es prácticamente trivial.

Sin embargo, si un ∞-grupoide se define de diferentes maneras, la hipótesis suele permanecer abierta. En particular, la hipótesis que utiliza la definición original de Grothendieck para un ∞-grupoide sigue abierta.

También existe una versión de la hipótesis de homotopía para n -grupoides (débiles) , que dice aproximadamente ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La declaración requiere varias aclaraciones:

• Un n -grupoide se define típicamente como una n -categoría donde cada morfismo es invertible. Por lo tanto, en particular, el significado depende del significado de una n- categoría (por ejemplo, generalmente alguna versión débil de una n- categoría).
• "lo mismo que" generalmente significa alguna equivalencia (ver más abajo), y la definición de una equivalencia normalmente utiliza algunas nociones superiores como una ∞-categoría,
• Un tipo homotópico n significa un espacio topológico razonable con grupos homotópicos i -ésimos que se anulan, i > n en cada punto base (por lo que un tipo homotópico n aquí es en realidad un tipo homotópico n débil para ser precisos).

Además, se supone que la equivalencia entre las dos nociones viene dada en una dirección por una versión superior de un grupoide fundamental , o el n -grupoide fundamental .${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$de un espacio X donde ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• un objeto es un punto en X ,
• un 1-morfismo${\displaystyle f:x\to y}$es un camino desde un punto x a un punto y , con las composiciones la concatenación de dos caminos,
• un 2-morfismo es una homotopía de un camino${\displaystyle f:x\to y}$a un camino${\displaystyle g:x\to y}$,
• un 3-morfismo es un "mapa" entre homotopías,
• y así sucesivamente hasta n -morfismos.

La otra dirección viene dada por la realización geométrica.

Esta versión aún está abierta.

Véase también: espacio de Eilenberg–MacLane , módulo cruzado .

• homotopía algebraica
• Grupo N (teoría de categorías)
• Persiguiendo pilas
• Cuasicategoría
• Espacio estratificado

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