Persiguiendo pilas

Pursuing Stacks ( en francés : À la Poursuite des Champs ) es un influyente manuscrito matemático de 1983 de Alexander Grothendieck . ^{[ 1 ]} Consta de una carta de 12 páginas a Daniel Quillen seguida de unas 600 páginas de notas de investigación.

El tema de este trabajo es una teoría de homotopía generalizada que utiliza la teoría de categorías superiores . La palabra "pilas" en el título se refiere a lo que hoy en día se suele llamar " ∞-grupoides ", una posible definición de la cual Grothendieck esboza en su manuscrito. (Las pilas de geometría algebraica , que también se remontan a Grothendieck, no son el foco de este manuscrito). Entre los conceptos introducidos en el trabajo se encuentran los derivadores y las categorías de prueba .

Algunas partes del manuscrito fueron desarrolladas posteriormente en:

• Georges Maltsiniotis (2005), "La théorie de l'homotopie de Grothendieck" [Teoría de la homotopía de Grothendieck] (PDF) , Astérisque , 301 , MR  2200690
• Denis-Charles Cisinski (2006), "Les préfaisceaux comme modèles destypes d'homotopie" [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] (PDF) , Astérisque , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9, MR  2294028{{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )

La búsqueda de pilas comenzó con una carta de Grothendieck a Daniel Quillen. En ella, Grothendieck analiza el progreso de Quillen ^{[ 2 ]} en los fundamentos de la teoría de la homotopía y comenta la falta de avances desde entonces. Menciona que algunos de sus amigos en la Universidad de Bangor , incluido Ronald Brown , estaban estudiando grupoides fundamentales superiores para un espacio topológico y cómo se podrían establecer y relativizar los fundamentos de dicho tema utilizando la teoría de topos , lo que daría paso a gerbes superiores . Además, criticaba el uso de grupoides estrictos para establecer estos fundamentos, ya que no serían suficientes para desarrollar la teoría completa que él imaginaba. ${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$${\displaystyle X}$

Expuso sus ideas sobre cómo debería ser un ∞-grupoide de este tipo y proporcionó algunos axiomas que esbozaban su visión. En esencia, se trata de categorías con objetos, flechas, flechas entre flechas, etc., análogas a la situación de las homotopías superiores. Se conjetura que esto podría lograrse analizando una secuencia sucesiva de categorías y functores.

${\displaystyle C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots }$

que son universales con respecto a cualquier tipo de grupoide superior. Esto permite una definición inductiva de un ∞-grupoide que depende de los objetos y los functores de inclusión , donde las categorías mantienen el seguimiento de la información homotópica superior hasta el nivel . Dicha estructura fue posteriormente llamada coherador ya que mantiene el seguimiento de todas las coherencias superiores. Esta estructura ha sido estudiada formalmente por George Malsiniotis ^{[ 3 ]} haciendo algunos avances en el establecimiento de estos fundamentos y mostrando la hipótesis de homotopía . ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}\to C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n}$

De hecho, la descripción es formalmente análoga, y casi idéntica, a la descripción de los grupos de homología de un complejo de cadena ; por lo tanto, parecería que las pilas (más específicamente, las pilas Gr) son, en cierto sentido, la generalización no conmutativa más cercana posible de los complejos de cadena, convirtiéndose los grupos de homología del complejo de cadena en los grupos de homotopía del "complejo de cadena no conmutativo" o pila. - Grothendieck ^{[ 1 ] pág. 23}

Esto se explica más adelante mediante la intuición proporcionada por la correspondencia de Dold-Kan : los grupos abelianos simpliciales corresponden a complejos de cadena de grupos abelianos, por lo que una pila superior modelada como un grupo simplicial debería corresponder a un complejo de cadena "no abeliano" . Además, estos deberían tener una abelianización dada por homología y cohomología, escrita sugestivamente como o , ya que debería haber un formalismo de seis functores asociado ^{[ 1 ] pág. 24} . Además, debería haber una teoría asociada de operaciones de Lefschetz, similar a la tesis de Raynaud . ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\bullet }}$${\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })}$${\displaystyle \mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })}$

Debido a que Grothendieck concibió una formulación alternativa de pilas superiores utilizando grupoides globulares, y observó que debería existir una teoría correspondiente utilizando conjuntos cúbicos , se le ocurrió la idea de categorías de prueba y functores de prueba. ^{[ 1 ] pág. 42} Esencialmente, las categorías de prueba deberían ser categorías con una clase de equivalencias débiles tales que existe un functor de realización geométrica. ${\displaystyle M}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle |\cdot |:M\to {\text{Espacios}}}$

y una equivalencia débil

${\displaystyle M[W^{-1}]\simeq {\text{Caliente}}}$

donde Hot denota la categoría de homotopía .

• hipótesis de homotopía
• ∞-grupoide
• Derivado
• Grupo N (teoría de categorías)
• Pila más alta

• Persiguiendo pilas , A. Grothendieck, 1983
• Explorando pilas de memoria en el laboratorio n
• Conjeturas en “Pursuing stacks” de Grothendieck , Mathoverflow.net
• El gato como categoría de modelo cerrado
• ¿Existe una explicación conceptual avanzada de por qué lo "simplical" conduce a lo "homotópico"? , Mathoverflow.net
• ¿Qué tiene de especial la categoría Simplex?
• R. Brown , Los orígenes de «Persiguiendo pilas» de Alexander Grothendieck