Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un resultado de gran alcance sobre cohomología coherente . Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , sobre variedades complejas , que a su vez es una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para haces de líneas en superficies de Riemann compactas .

Los teoremas de tipo Riemann-Roch relacionan las características de Euler de la cohomología de un fibrado vectorial con sus grados topológicos , o más generalmente con sus clases características en (co)homología o análogos algebraicos de las mismas. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para fibrados de curvas y líneas, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch lo generaliza a fibrados vectoriales sobre variedades. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch sitúa ambos teoremas en una situación relativa de un morfismo entre dos variedades (o esquemas más generales ) y cambia el teorema de una afirmación sobre un solo fibrado a una que se aplica a complejos de cadenas de haces .

El teorema ha sido muy influyente, sobre todo para el desarrollo del teorema del índice de Atiyah-Singer . A la inversa, se pueden demostrar análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch utilizando el teorema del índice para familias. Alexander Grothendieck dio una primera demostración en un manuscrito de 1957, publicado posteriormente. ^{[ 1 ]} Armand Borel y Jean-Pierre Serre redactaron y publicaron la demostración de Grothendieck en 1958. ^{[ 2 ]} Más tarde, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la demostración. ^{[ 3 ]}

Formulación

Sea X un esquema cuasiproyectivo suave sobre un cuerpo . Bajo estas suposiciones, el grupo de Grothendieck $K_{0}(X)$ El grupo de complejos acotados de haces coherentes es canónicamente isomorfo al grupo de Grothendieck de complejos acotados de haces vectoriales de rango finito. Utilizando este isomorfismo, consideremos el carácter de Chern (una combinación racional de clases de Chern ) como una transformación funtorial :

\mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),

dónde $A_{d}(X,\mathbb {Q} )$ es el grupo de Chow de ciclos en X de dimensión d módulo equivalencia racional , tensorializado con los números racionales . En caso de que X esté definido sobre los números complejos , este último grupo se mapea al grupo de cohomología topológica :

H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).

Ahora consideremos un morfismo propio. $f\colon X\to Y$ entre esquemas cuasiproyectivos suaves y un complejo acotado de haces ${{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ en $X.$

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona el mapa de empuje hacia adelante.

f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)

(suma alternada de imágenes directas superiores ) y el empuje hacia adelante

f_{*}\colon A(X)\to A(Y),

por la fórmula ^{[ 4 ]}

\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).

Aquí $\mathrm {td} (X)$ es el género de Todd de (el fibrado tangente de) X. Por lo tanto, el teorema proporciona una medida precisa de la falta de conmutatividad de tomar los impulsos hacia adelante en los sentidos anteriores y el carácter de Chern, y muestra que los factores de corrección necesarios dependen solo de X e Y. De hecho, dado que el género de Todd es funtorial y multiplicativo en secuencias exactas , podemos reescribir la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como

\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),

dónde $T_{f}$ es el haz tangente relativo de f , definido como el elemento $TX-f^{*}(TY)$ en $K_{0}(X)$ . Por ejemplo, cuando f es un morfismo suave , $T_{f}$ es simplemente un fibrado vectorial, conocido como fibrado tangente a lo largo de las fibras de f .

Utilizando la teoría de homotopía A ¹ , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch ha sido extendido por Navarro y Navarro (2017) a la situación en la que f es un mapeo propio entre dos esquemas suaves.

Generalizar y especializar

Se pueden hacer generalizaciones del teorema al caso no suave considerando una generalización apropiada de la combinación. $\mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)$ y al caso no propio considerando la cohomología con soporte compacto .

El teorema aritmético de Riemann-Roch extiende el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a esquemas aritméticos .

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial en el que Y es un punto y el cuerpo es el cuerpo de los números complejos.

Ivan Panin y Alexander Smirnov demostraron una versión del teorema de Riemann-Roch para teorías de cohomología orientada. ^{[ 5 ]} Este teorema se refiere a operaciones multiplicativas entre teorías de cohomología orientada algebraica (como el cobordismo algebraico ). El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un caso particular de este resultado, y el carácter de Chern surge de forma natural en este contexto. ^{[ 6 ]}

Ejemplos

Paquetes vectoriales en una curva

Un haz vectorial $E\to C$ de rango $n$ y título $d$ (definido como el grado de su determinante; o equivalentemente el grado de su primera clase de Chern) en una curva proyectiva suave sobre un campo $k$ tiene una fórmula similar a la de Riemann-Roch para haces de líneas. Si tomamos $X=C$ y $Y=\{*\}$ un punto, entonces la fórmula de Grothendieck–Riemann–Roch se puede leer como

{\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}

por eso,

\chi (C,E)=d+n(1-g).

^{[ 7 ]}

Esta fórmula también es válida para haces coherentes de rango $n$ y título $d$ .

Mapas adecuados y suaves

Una de las ventajas de la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch es que puede interpretarse como una versión relativa de la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Por ejemplo, un morfismo suave $f\colon X\to Y$ tiene fibras que son todas equidimensionales (e isomorfas como espacios topológicos cuando la base cambia a $\mathbb {C}$ ). Este hecho es útil en la teoría de módulos cuando se considera un espacio de módulos ${\mathcal {M}}$ parametrizando espacios propios suaves. Por ejemplo, David Mumford utilizó esta fórmula para deducir relaciones del anillo de Chow en el espacio de módulos de curvas algebraicas . ^{[ 8 ]}

Módulos de curvas

Para la pila de módulos de género $g$ curvas (y sin puntos marcados) ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ Existe una curva universal $\pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ dónde ${\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}$ es la pila de módulos de curvas de género $g$ y un punto marcado. Luego, define las clases tautológicas.

{\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}

dónde $1\leq l\leq g$ y $\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ es el haz dualizador relativo . Nótese la fibra de $\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ sobre un punto $[C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ Esta es la vaina dualizadora $\omega _{C}$ . Pudo encontrar relaciones entre los $\lambda _{i}$ y $\kappa _{i}$ describiendo el $\lambda _{i}$ en términos de una suma de $\kappa _{i}$ ^{[ 8 ]} (corolario 6.2) sobre el anillo de comida $A^{*}({\mathcal {M}}_{g})$ del locus liso usando Grothendieck–Riemann–Roch. Porque ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ es una pila Deligne-Mumford suave , él consideró una cobertura por un esquema ${\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ que presenta ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]$ para algún grupo finito $G$ . Él utiliza Grothendieck–Riemann–Roch en $\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}$ Llegar

\mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))

Porque

\mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},

Esto da como resultado la fórmula.

\mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).

El cálculo de $\mathrm {ch} (\mathbb {E} )$ Luego se puede reducir aún más. En dimensiones pares. $2k$ ,

{\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.

Además, en la dimensión 1,

\lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),

dónde $\delta$ es una clase en el límite. En el caso $g=2$ y en el locus liso ${\mathcal {M}}_{g}$ están las relaciones

{\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}

lo cual se puede deducir analizando el carácter de Chern de $\mathbb {E}$ .

Incrustaciones cerradas

Incrustaciones cerradas $f\colon Y\to X$ También se incluye una descripción utilizando la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch, mostrando otro caso no trivial donde la fórmula se cumple. ^{[ 9 ]} Para una variedad suave $X$ de dimensión $n$ y una subvariedad $Y$ de codimensión $k$ , ahí está la fórmula

c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]

Utilizando la secuencia exacta corta

0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0

,

ahí está la fórmula

c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]

para el haz ideal ya que $1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})$ .

Aplicaciones

Cuasiproyectividad de los espacios de módulos

Grothendieck–Riemann–Roch se puede utilizar para demostrar que un espacio de módulos gruesos $M$ , como el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas $M_{g,n}$ , admite una incrustación en un espacio proyectivo , por lo tanto es una variedad cuasiproyectiva . Esto se puede lograr observando haces asociados canónicamente en $M$ y estudiando el grado de los haces de líneas asociados. Por ejemplo, $M_{g,n}$ ^{[ 10 ]} tiene la familia de curvas

\pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}

con secciones

s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}

correspondientes a los puntos marcados. Dado que cada fibra tiene el fibrado canónico $\omega _{C}$ , existen los paquetes de líneas asociados $\Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))$ y $\chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).$ Resulta que

\Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)

es un haz de líneas amplio ^{[ 10 ]}^{pág. 209} , por lo tanto el espacio de módulos gruesos $M_{g,n}$ es cuasiproyectivo.

Historia

La versión del teorema de Riemann-Roch de Alexander Grothendieck fue transmitida originalmente en una carta a Jean-Pierre Serre entre 1956 y 1957. Se hizo pública en la primera Conferencia de Trabajo de Bonn , en 1957. Posteriormente, Serre y Armand Borel organizaron un seminario en la Universidad de Princeton para comprenderlo. El artículo final publicado fue, en esencia, la exposición de Borel y Serre.

La importancia del enfoque de Grothendieck radica en varios puntos. Primero, Grothendieck modificó el enunciado: en aquel entonces, el teorema se entendía como un teorema sobre una variedad , mientras que Grothendieck lo interpretó como un teorema sobre un morfismo entre variedades. Al encontrar la generalización adecuada, la demostración se simplificó y la conclusión se volvió más general. En resumen, Grothendieck aplicó un enfoque categórico riguroso a un problema de análisis complejo . Además, Grothendieck introdujo los K-grupos , como se mencionó anteriormente, lo que sentó las bases para la K-teoría algebraica .

Véase también

Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki

Notas

↑ A. Grothendieck. Clases de faisceaux et théorème de Riemann-Roch (1957). Publicado en SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
^ Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). "El teorema de Riemann-Roch" . Boletín de la Société Mathématique de France . 86 : 97– 136. doi : 10.24033/bsmf.1500 . SEÑOR 0116022 .
↑ SGA 6, Springer-Verlag (1971).
↑ Huybrechts 04, pág. 235
↑ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). "Avances en teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas" .
↑ Morel, Fabien ; Levine, Marc, Cobordismo algebraico (PDF) , Springer, véase 4.2.10 y 4.2.11
↑ Morrison; Harris. Módulos de curvas . pág. 154.
1 2 Mumford, David (1983). "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas" . Aritmética y geometría . págs. 271–328 . doi : 10.1007/978-1-4757-9286-7_12 . ISBN 978-0-8176-3133-8.
↑ Fulton. Teoría de la intersección . pág. 297.
1 2 Knudsen, Finn F. (1983-12-01). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, III: Los haces de líneas en $M_{g,n}$ y una prueba de la proyectividad de ${\bar {M}}_{g,n}$ en característica 0" . Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212 . doi : 10.7146/math.scand.a-12002 . ISSN 1903-1807 .

Referencias

Berthelot, Pierre (1971). Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie (eds.). Teoría de las intersecciones y Teoría de Riemann-Roch . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8.
Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann–Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 86 : 97– 136, doi : 10.24033/bsmf.1500 , ISSN 0037-9484 , MR 0116022
Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323 , Zbl 0885.14002
Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Sobre la fórmula de Riemann-Roch sin hipótesis proyectiva , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). "Avances en teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas" .
Huybrechts, Daniel (18 de noviembre de 2004). Geometría compleja: Una introducción . Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: año ( enlace )
«El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch». 3264 y todo eso . Cambridge University Press. 2016. págs. 481-510 . doi : 10.1017/CBO9781139062046.016 . ISBN 9781107017085.

Enlaces externos

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
El hilo "¿Aplicaciones de Grothendieck-Riemann-Roch?" en MathOverflow .
El hilo "¿Cómo se entiende GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" en MathOverflow .
El hilo "Clase Chern de haz ideal" en Stack Exchange .

[1] A. Grothendieck. Clases de faisceaux et théorème de Riemann-Roch (1957). Publicado en SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.

[2] Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). "El teorema de Riemann-Roch" . Boletín de la Société Mathématique de France . 86 : 97– 136. doi : 10.24033/bsmf.1500 . SEÑOR 0116022 .

[3] SGA 6, Springer-Verlag (1971).

[4] Huybrechts 04, pág. 235

[5] Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). "Avances en teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas" .

[6] Morel, Fabien ; Levine, Marc, Cobordismo algebraico (PDF) , Springer, véase 4.2.10 y 4.2.11

[7] Morrison; Harris. Módulos de curvas . pág. 154.

[:0-8] 1 2 Mumford, David (1983). "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas" . Aritmética y geometría . págs. 271–328 . doi : 10.1007/978-1-4757-9286-7_12 . ISBN 978-0-8176-3133-8.

[9] Fulton. Teoría de la intersección . pág. 297.

[:1-10] 1 2 Knudsen, Finn F. (1983-12-01). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, III: Los haces de líneas en $M_{g,n}$ y una prueba de la proyectividad de ${\bar {M}}_{g,n}$ en característica 0" . Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212 . doi : 10.7146/math.scand.a-12002 . ISSN 1903-1807 .

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