Morfismo plano

En matemáticas , en particular en geometría algebraica , un morfismo plano f de un esquema X a un esquema Y es un morfismo tal que el mapa inducido en cada tallo es un mapa plano de anillos, es decir,

f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}

es un mapa plano para todo P en X. ^{[ 1} ] ^Un mapa de anillos $A\to B$ Se denomina plano si es un homomorfismo que convierte a B en un A -módulo plano . Un morfismo de esquemas se denomina fielmente plano si es sobreyectivo y plano. ^[²^]

Dos intuiciones básicas con respecto a los morfismos planos son:

La planitud es una propiedad genérica ; y
El fallo de planitud se produce en el conjunto de salto del morfismo.

La primera de ellas proviene del álgebra conmutativa : sujeta a ciertas condiciones de finitud sobre f , se puede demostrar que existe un subesquema abierto no vacío. $Y'$ de Y , de tal manera que f restringido a $Y'$ es un morfismo plano ( planitud genérica ). Aquí, la 'restricción' se interpreta mediante el producto fibrado de esquemas , aplicado a f y al mapa de inclusión de $Y'$ en Y.

En segundo lugar, la idea es que los morfismos en geometría algebraica pueden presentar discontinuidades que se detectan mediante la planitud. Por ejemplo, la operación de soplado descendente en la geometría birracional de una superficie algebraica puede generar una única fibra de dimensión 1 cuando todas las demás tienen dimensión 0. Resulta (retrospectivamente) que la planitud en los morfismos está directamente relacionada con el control de este tipo de semicontinuidad o salto unilateral.

Los morfismos planos se utilizan para definir (más de una versión de) el topos plano y la cohomología plana de haces a partir de él. Esta es una teoría profunda y no ha resultado fácil de manejar. El concepto de morfismo étale (y por lo tanto la cohomología étale ) depende del concepto de morfismo plano: un morfismo étale es plano, de tipo finito y no ramificado .

Ejemplos/contraejemplos

Consideremos el morfismo de esquema afín

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])

inducido a partir del morfismo de álgebras

{\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t.\\\end{cases}}

Dado que la planitud de este morfismo es equivalente a la desaparición del grupo Tor ^{[ 3 ]}

\operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),

Resolvemos los números complejos

{\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}

y tensor por el módulo que representa nuestro esquema dando la secuencia de $\mathbb {C} [t]$ -módulos

0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\xrightarrow {\cdot t} {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0.

Como $t$ no es un divisor de cero , tenemos un núcleo trivial; por lo tanto, el grupo de homología se anula.

Planitud milagrosa

Otros ejemplos de morfismos planos se pueden encontrar utilizando la "planitud milagrosa" ^{[ 4 ]} que establece que si un morfismo $f\colon X\to Y$ Si entre un esquema de Cohen-Macaulay y un esquema regular existen fibras equidimensionales , entonces es plano. Ejemplos sencillos de esto son las fibraciones elípticas , los morfismos suaves y los morfismos a variedades estratificadas que satisfacen la condición de planitud milagrosa en cada uno de los estratos.

Esquemas de Hilbert

Los ejemplos universales de morfismos planos de esquemas vienen dados por los esquemas de Hilbert . Esto se debe a que los esquemas de Hilbert parametrizan clases universales de morfismos planos, y todo morfismo plano es el retroceso de algún esquema de Hilbert. Es decir, si $f\colon X\to S$ es plano, existe un diagrama conmutativo

{\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}

para el esquema de Hilbert de todos los morfismos planos a $S$ . Desde $f$ es plano, las fibras $f_{s}\colon X_{s}\to s$ Todos tienen el mismo polinomio de Hilbert. $\Phi$ , por lo tanto podríamos haber escrito de manera similar ${\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }$ para el esquema de Hilbert anterior.

No ejemplos

Explosión

Un tipo de contraejemplos lo constituyen los mapas de explosión .

\operatorname {Bl} _{I}X\to X.

Un ejemplo sencillo es la explosión de un punto en $\mathbb {C} [x,y]$ . Si tomamos el origen, esto viene dado por el morfismo

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}

envío

x\mapsto x,y\mapsto y,

donde la fibra sobre un punto $(a,b)\neq (0,0)$ es una copia de $\mathbb {C}$ , es decir,

{\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,

lo cual se deduce de

M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.

Si no fuera por $a=b=0$ , obtenemos el isomorfismo

{\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].

La razón por la que esto no es plano se debe al lema de planitud de Miracle, que se puede comprobar localmente.

Resolución infinita

Un ejemplo sencillo que no es un morfismo plano es $k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.$ Esto se debe a que

k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k

es un complejo infinito, que podemos encontrar tomando una resolución plana de $k$ ,

\cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k

y tensorial la resolución con $k$ , encontramos que

k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]

demostrando que el morfismo no puede ser plano. Otro ejemplo contrario a un morfismo plano es una explosión, ya que un morfismo plano necesariamente tiene fibras equidimensionales.

Propiedades de los morfismos planos

Dejar $f\colon X\to Y$ ser un morfismo de esquemas. Para un morfismo $g\colon Y'\to Y$ , dejar $X'=X\times _{Y}Y'$ y $f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.$ El morfismo f es plano si y solo si para cada g , el retroceso $f'^{*}$ es un functor exacto de la categoría de cuasi-coherentes ${\mathcal {O}}_{Y'}$ -módulos a la categoría de cuasi-coherentes ${\mathcal {O}}_{X'}$ -módulos. ^{[ 5 ]}

Asumir $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y\to Z$ son morfismos de esquemas y f es plano en x en X. Entonces g es plano en $f(x)$ si y solo si gf es plana en x . ^{[ 6 ]} En particular, si f es fielmente plana, entonces g es plana o fielmente plana si y solo si gf es plana o fielmente plana, respectivamente. ^{[ 7 ]}

Propiedades fundamentales

La composición de dos morfismos planos es plana. ^{[ 8 ]}
El producto fibrado de dos morfismos planos o fielmente planos es un morfismo plano o fielmente plano, respectivamente. ^{[ 9 ]}
La planitud y la planitud fiel se conservan mediante el cambio de base: Si f es plana o fielmente plana y $g\colon Y'\to Y$ , luego el producto de fibra $f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ es plano o fielmente plano, respectivamente. ^{[ 10 ]}
El conjunto de puntos donde un morfismo (localmente de presentación finita) es plano es abierto. ^{[ 11 ]}
Si f es fielmente plana y de presentación finita, y si gf es de tipo finito o de presentación finita, entonces g es de tipo finito o de presentación finita, respectivamente. ^{[ 12 ]}

Suponer $f\colon X\to Y$ es un morfismo plano de esquemas.

Si F es un haz cuasi-coherente de presentación finita en Y (en particular, si F es coherente), y si J es el aniquilador de F en Y , entonces $f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}$ , el retroceso del mapa de inclusión, es una inyección, y la imagen de $f^{*}J$ en ${\mathcal {O}}_{X}$ es el aniquilador de $f^{*}F$ en X . ^{[ 13 ]}
Si f es fielmente plana y si G es un cuasi-coherente ${\mathcal {O}}_{Y}$ -módulo, luego el mapa de retroceso en secciones globales $\Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)$ es inyectivo. ^{[ 14 ]}

Suponer $h\colon S'\to S$ es plano. Sean X e Y esquemas S , y sea $X'$ y $Y'$ que su base cambie por h .

Si $f\colon X\to Y$ es cuasicompacto y dominante, entonces su base cambia $f'\colon X'\to Y'$ es cuasicompacto y dominante. ^{[ 15 ]}
Si h es fielmente plano, entonces el mapa de retroceso $\operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')$ es inyectivo. ^{[ 16 ]}
Asumir $f\colon X\to Y$ es cuasicompacto y cuasiseparado . Sea Z la imagen cerrada de X , y sea $j\colon Z\to Y$ sea la inyección canónica. Entonces el subesquema cerrado determinado por el cambio de base $j'\colon Z'\to Y'$ es la imagen cerrada de $X'$ . ^{[ 17 ]}

Propiedades topológicas

Si $f\colon X\to Y$ Si es plano, entonces posee todas las siguientes propiedades:

Para cada punto x de X y cada generación y ′ de $y = f (x)$ , existe una generación x ′ de x tal que $y' = f (x')$ . ^{[ 18 ]}
Para cada punto x de X , $f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$ . ^{[ 19 ]}
Para cada subconjunto cerrado irreducible Y ′ de Y , cada componente irreducible de f ⁻¹ ( Y ′ ) domina a Y ′ . ^{[ 20 ]}
Si Z y Z ′ son dos subconjuntos cerrados irreducibles de Y con Z contenido en Z ′ , entonces para cada componente irreducible T de f ⁻¹ ( Z ), existe una componente irreducible T ′ de f ⁻¹ ( Z ′ ) que contiene a T . ^{[ 21 ]}
Para cada componente irreducible T de X , la clausura de f ( T ) es una componente irreducible de Y . ^{[ 22 ]}
Si Y es irreducible con punto genérico y , y si f ⁻¹ ( y ) es irreducible, entonces X es irreducible. ^{[ 23 ]}
Si f también es cerrado, la imagen de cada componente conexa de ^X es una componente conexa de Y. ^[²⁴ ]
Para cada subconjunto proconstrucible Z de Y , $f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}$ . ^{[ 25 ]}

Si f es plano y localmente de presentación finita, entonces f es universalmente abierto. ^{[ 26 ]} Sin embargo, si f es fielmente plano y cuasicompacto, no es cierto en general que f sea abierto, incluso si X e Y son noetherianos . ^{[ 27 ]} Además, no se cumple el recíproco de esta afirmación: si f es la aplicación canónica del esquema reducido X _red a X , entonces f es un homeomorfismo universal , pero para X no reducido y noetheriano, f nunca es plano. ^{[ 28 ]}

Si $f\colon X\to Y$ es fielmente plano y casi compacto, entonces:

La topología en Y es la topología cociente relativa a f . ^{[ 29 ]}
Si Z es un subconjunto de Y , entonces Z es un subconjunto localmente cerrado pro-construcible de Y si y solo si f ⁻¹ ( Z ) es un subconjunto localmente ^cerrado pro-construcible de X. ^[³⁰ ]

Si f es plana y localmente de presentación finita, entonces para cada una de las siguientes propiedades P , el conjunto de puntos donde f tiene P es abierto: ^{[ 31 ]}

Condición de Serre S _k (para cualquier k fijo ).
Geométricamente regular.
Geométricamente normal.

Si además f es propia, entonces lo mismo es cierto para cada una de las siguientes propiedades: ^{[ 32 ]}

Reducido geométricamente.
Geométricamente reducido y con k componentes geométricamente conectadas (para cualquier k fijo ).
Geométricamente integral.

Planitud y dimensión

Supongamos que $X$ e $Y$ son localmente noetherianos, y sea $f\colon X\to Y$ .

Dejar $x$ ser un punto de $X$ y $y=f(x)$ . Si $f$ es plano, entonces $\dim _{x}X=\dim _{y}Y+\dim _{x}f^{-1}(y)$ . ^{[ 33 ]} Por el contrario, si esta igualdad se cumple para todo x , X es Cohen-Macaulay , e Y es regular , y además f mapea puntos cerrados a puntos cerrados, entonces f es plana. ^{[ 34 ]}
Si f es fielmente plana, entonces para cada subconjunto cerrado Z de Y , $codim Y (Z) = codim X (f -1 (Z))$ . ^{[ 35 ]}
Supongamos que f es plana y F es un módulo cuasi-coherente sobre Y. Si F tiene dimensión proyectiva como máximo n , entonces $f^{*}F$ tiene dimensión proyectiva como máximo n . ^{[ 36 ]}

Propiedades de descenso

Supongamos que ^f es plana en x en X. Si X es reducida o normal en x , entonces Y es reducida o normal, respectivamente, en f ( x ). ^{[ 37 ]} Recíprocamente, si f también es de presentación finita y f⁻¹ ( y ) es reducida o normal, respectivamente, en x , entonces X es reducida o normal, respectivamente, en x . ^[³⁸^]
En particular, si f es fielmente plana, entonces X reducida o normal implica que Y es reducida o normal, respectivamente. Si f es fielmente plana y de presentación finita, entonces todas las fibras de f reducidas o normales implican que X es reducida o normal, respectivamente.
Si f es plana en x en X , y si X es integral o integralmente cerrada en x , entonces Y es integral o integralmente cerrada, respectivamente, en f ( x ). ^{[ 39 ]}
Si f es fielmente plana, X es localmente integral y el espacio topológico de Y es localmente noetheriano, entonces Y es localmente integral. ^{[ 40 ]}
Si f es fielmente plana y cuasicompacta, y si X es localmente noetheriana, entonces Y también es localmente noetheriana. ^{[ 41 ]}
Supongamos que f es plana y que ^X e Y son localmente noetherianas. Si X es regular en x , entonces Y es regular en f ( x ). Recíprocamente, si Y es regular en f ( x ) y f⁻¹ ( f ( x )) es regular en x , entonces X es regular en x . ^[⁴²^]
Supongamos que f es plana y que ^X e Y son localmente noetherianas. Si X es normal en x , entonces Y es normal en f ( x ). Recíprocamente, si Y es normal en f ( x ) y f⁻¹ ( f ( x )) es normal en x , entonces X es normal en x . ^[⁴³^]

Sea $g : Y' \to Y$ fielmente plana. Sea F un haz cuasi-coherente en Y , y sea F ′ el retroceso de F a Y ′ . Entonces F es plana sobre Y si y solo si F ′ es plana sobre Y ′ . ^{[ 44 ]}

Supongamos que f es fielmente plana y cuasicompacta. Sea G un haz cuasi-coherente en Y , y sea F su retroceso a X. Entonces F es de tipo finito, de presentación finita o localmente libre de rango n si y solo si G tiene la propiedad correspondiente. ^{[ 45 ]}

Supongamos que $f : X \to Y$ es un S- morfismo de S- esquemas. Sea $g : S' \to S$ fielmente plano y cuasicompacto, y sean X ′ , Y ′ , y f ′ los cambios de base por g . Entonces, para cada una de las siguientes propiedades P , si f ′ tiene P , entonces f tiene P . ^{[ 46 ]}

Abierto.
Cerrado.
Cuasicompacto y un homeomorfismo sobre su imagen.
Un homeomorfismo.

Además, para cada una de las siguientes propiedades ^P , f tiene P si y solo si f ′ tiene P. ^[⁴⁷ ]

Abierto universalmente.
Cerrado universalmente.
Un homeomorfismo universal.
Casi compacto.
Casi compacto y dominante.
Cuasicompacto y universalmente bicontinuo.
Apartado.
Cuasi-separados.
Localmente de tipo finito.
Localmente de presentación finita.
Tipo finito.
Presentación finita.
Adecuado.
Un isomorfismo.
Un monomorfismo .
Una inmersión abierta.
Una inmersión casi compacta.
Una inmersión cerrada .
Afín.
Cuasi afín.
Finito .
Cuasifinito .
Integral.

Es posible que f ′ sea un isomorfismo local sin que f sea siquiera una inmersión local. ^{[ 48 ]}

Si f es cuasicompacto y L es un haz invertible en X , entonces L es f- amplio o f -muy amplio si y solo si su retroceso L ′ es f′ - amplio o f′ - muy amplio, respectivamente. ^{[ 49 ]} Sin embargo, no es cierto que f sea proyectivo si y solo si f ′ es proyectivo. Ni siquiera es cierto que si f es propio y f ′ es proyectivo, entonces f es cuasiproyectivo, porque es posible tener un ^haz f′ - amplio en X ′ que no desciende a X. ^[⁵⁰ ]

Véase también

morfismo fpqc
Divisor de Cartier efectivo relativo , un ejemplo de morfismo plano.
Degeneración (geometría algebraica)

Notas

↑ EGA IV₂ , 2.1.1.
↑ EGA 0_I , 6.7.8.
↑ Sernesi, E. (2010). Deformaciones de esquemas algebraicos . Springer . págs. 269–279 .
↑ "Morfismos planos y planitud" .
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.3.
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.2.11(iv).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.2.13(iii).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.1.6.
↑ EGA IV₂ , Corolaire 2.1.7 y EGA IV₂ , Corolaire 2.2.13(ii).
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.4, y EGA IV₂ , Corolario 2.2.13(i).
↑ EGA IV₃ , Teorema 11.3.1.
↑ EGA IV₃ , Proposición 11.3.16.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.11.
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.2.8.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.7(i).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.2.16.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.2.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(i).
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(ii).
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(iii).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(i).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(ii).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(iii).
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.3.6(ii).
↑ EGA IV₂ , Teorema 2.3.10.
↑ EGA IV₂ , Teorema 2.4.6.
↑ EGA IV₂ , Observaciones 2.4.8(i).
^ EGA IV₂ , Comentarios 2.4.8(ii).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.3.12.
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.3.14.
↑ EGA IV₃ , Teorema 12.1.6.
↑ EGA IV₃ , Teorema 12.2.4.
↑ EGA IV₂ , Corolario 6.1.2.
↑ EGA IV₂ , Proposición 6.1.5. Nótese que la suposición de regularidad sobre Y es importante aquí. La extensión $\mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]$ da un contraejemplo con X regular, Y normal, f sobreyectiva finita pero no plana.
↑ EGA IV₂ , Corolario 6.1.4.
↑ EGA IV₂ , Corolario 6.2.2.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.13.
↑ EGA IV₃ , Proposición 11.3.13.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.13.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.1.14.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.2.14.
↑ EGA IV₂ , Corolario 6.5.2.
↑ EGA IV₂ , Corolario 6.5.4.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.5.1.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.5.2.
↑ EGA IV₂ , Proposición 2.6.2.
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.6.4 y Proposición 2.7.1.
^ EGA IV₂ , Comentarios 2.7.3(iii).
↑ EGA IV₂ , Corolario 2.7.2.
^ EGA IV₂ , Comentarios 2.7.3(ii).

Referencias

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Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1– 42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175
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[1] EGA IV₂ , 2.1.1.

[2] EGA 0_I , 6.7.8.

[3] Sernesi, E. (2010). Deformaciones de esquemas algebraicos . Springer . págs. 269–279 .

[4] "Morfismos planos y planitud" .

[5] EGA IV₂ , Proposición 2.1.3.

[6] EGA IV₂ , Corolario 2.2.11(iv).

[7] EGA IV₂ , Corolario 2.2.13(iii).

[8] EGA IV₂ , Corolario 2.1.6.

[9] EGA IV₂ , Corolaire 2.1.7 y EGA IV₂ , Corolaire 2.2.13(ii).

[10] EGA IV₂ , Proposición 2.1.4, y EGA IV₂ , Corolario 2.2.13(i).

[11] EGA IV₃ , Teorema 11.3.1.

[12] EGA IV₃ , Proposición 11.3.16.

[13] EGA IV₂ , Proposición 2.1.11.

[14] EGA IV₂ , Corolario 2.2.8.

[15] EGA IV₂ , Proposición 2.3.7(i).

[16] EGA IV₂ , Corolario 2.2.16.

[17] EGA IV₂ , Proposición 2.3.2.

[18] EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(i).

[19] EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(ii).

[20] EGA IV₂ , Proposición 2.3.4(iii).

[21] EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(i).

[22] EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(ii).

[23] EGA IV₂ , Corolario 2.3.5(iii).

[24] EGA IV₂ , Proposición 2.3.6(ii).

[25] EGA IV₂ , Teorema 2.3.10.

[26] EGA IV₂ , Teorema 2.4.6.

[27] EGA IV₂ , Observaciones 2.4.8(i).

[28] EGA IV₂ , Comentarios 2.4.8(ii).

[29] EGA IV₂ , Corolario 2.3.12.

[30] EGA IV₂ , Corolario 2.3.14.

[31] EGA IV₃ , Teorema 12.1.6.

[32] EGA IV₃ , Teorema 12.2.4.

[33] EGA IV₂ , Corolario 6.1.2.

[34] EGA IV₂ , Proposición 6.1.5. Nótese que la suposición de regularidad sobre Y es importante aquí. La extensión $\mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]$ da un contraejemplo con X regular, Y normal, f sobreyectiva finita pero no plana.

[35] EGA IV₂ , Corolario 6.1.4.

[36] EGA IV₂ , Corolario 6.2.2.

[37] EGA IV₂ , Proposición 2.1.13.

[38] EGA IV₃ , Proposición 11.3.13.

[39] EGA IV₂ , Proposición 2.1.13.

[40] EGA IV₂ , Proposición 2.1.14.

[41] EGA IV₂ , Proposición 2.2.14.

[42] EGA IV₂ , Corolario 6.5.2.

[43] EGA IV₂ , Corolario 6.5.4.

[44] EGA IV₂ , Proposición 2.5.1.

[45] EGA IV₂ , Proposición 2.5.2.

[46] EGA IV₂ , Proposición 2.6.2.

[47] EGA IV₂ , Corolario 2.6.4 y Proposición 2.7.1.

[48] EGA IV₂ , Comentarios 2.7.3(iii).

[49] EGA IV₂ , Corolario 2.7.2.

[50] EGA IV₂ , Comentarios 2.7.3(ii).

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