Dimensión de un esquema

En geometría algebraica, la dimensión de un esquema es una generalización de la dimensión de una variedad algebraica . La teoría de esquemas enfatiza el punto de vista relativo y, por consiguiente, la dimensión relativa de un morfismo de esquemas también es importante.

Por definición, la dimensión de un esquema X es la dimensión del espacio topológico subyacente : el supremo de las longitudes ℓ de cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles :

${\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^{[ 1 ]}

En particular, si${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$es un esquema afín , entonces tales cadenas corresponden a cadenas de ideales primos (inclusión invertida), por lo que la dimensión de X es precisamente la dimensión de Krull de A.

Si Y es un subconjunto cerrado irreducible de un esquema X , entonces la codimensión de Y en X es el supremo de las longitudes ℓ de cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles:

${\displaystyle Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^{[ 2 ]}

Un subconjunto irreducible de X es un componente irreducible de X si y solo si su codimensión en X es cero.${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$Si es afín, entonces la codimensión de Y en X es precisamente la altura del ideal primo que define Y en X.

• Si un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo se considera como un esquema sobre el cuerpo, ^{[ nota 1 ]} entonces la dimensión del esquema V es la misma que la dimensión del espacio vectorial de V.
• Dejar${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,xz)}$, k un campo. Entonces tiene dimensión 2 (ya que contiene el hiperplano)${\displaystyle H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}}$como un componente irreducible). Si x es un punto cerrado de X , entonces${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$es 2 si x está en H y es 1 si está en${\displaystyle XH}$. De este modo,${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$Para puntos cerrados, x puede variar.
• Dejar${\displaystyle X}$ser una prevariedad algebraica; es decir, un esquema integral de tipo finito sobre un cuerpo${\displaystyle k}$. Entonces la dimensión de${\displaystyle X}$es el grado de trascendencia del campo de funciones${\displaystyle k(X)}$de${\displaystyle X}$encima${\displaystyle k}$. ^{[ 3 ]} Además, si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto no vacío de${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle \dim U=\dim X}$. ^{[ 4 ]}
• Sea R un anillo de valuación discreta y${\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$la línea afín sobre ella. Deja${\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} R}$ser la proyección.${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}}$consta de 2 puntos,${\displaystyle s}$correspondiente al ideal máximo y cerrado y${\displaystyle \eta }$el ideal cero y abierto. Luego las fibras${\displaystyle \pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )}$están cerrados y abiertos, respectivamente. Observamos que${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta)}$tiene dimensión uno, ^{[ nota 2 ]} mientras${\displaystyle X}$tiene dimensión${\displaystyle 2=1+\dim R}$y${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta)}$es denso en${\displaystyle X}$Por lo tanto, la dimensión de la clausura de un subconjunto abierto puede ser estrictamente mayor que la del conjunto abierto.
• Siguiendo con el mismo ejemplo, dejemos${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}}$sea ​​el ideal máximo de R y${\displaystyle \omega _{R}}$un generador. Observamos que${\displaystyle R[t]}$tiene ideales máximos de altura dos y altura uno; a saber,${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)}$y${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=}$el núcleo de${\displaystyle R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}$El primer ideal${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$es máximo ya que${\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=}$el campo de fracciones de R. Además,${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$tiene altura uno según el teorema del ideal principal de Krull y${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$tiene altura dos desde${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}}$. Como consecuencia,

${\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,}$

mientras que X es irreducible.

Un esquema equidimensional (o esquema dimensional puro ) es un esquema cuyos componentes irreducibles son de la misma dimensión (asumiendo implícitamente que todas las dimensiones están bien definidas).

Dejar${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ser un morfismo localmente de tipo finito entre dos esquemas${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. La dimensión relativa de${\displaystyle f}$en un punto${\displaystyle y\in Y}$es la dimensión de la fibra${\displaystyle f^{-1}(y)}$Si todas las fibras no vacías son puramente de la misma dimensión${\displaystyle n}$, entonces uno dice que${\displaystyle f}$es de dimensión relativa${\displaystyle n}$. ^{[ 6 ]}

• Teorema de Kleiman
• Glosario de teoría de esquemas
• Anillo equidimensional

• Guillermo Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol.  2 (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 

• Los autores del proyecto Stacks. "28 Propiedades de los esquemas/28.10 Dimensión" .
• Los autores del proyecto Stacks. "29.29 Morfismos de dimensión relativa dada" .