Morfismo de tipo finito

En álgebra conmutativa , dado un homomorfismo${\displaystyle A\to B}$de anillos conmutativos ,${\displaystyle B}$se llama un${\displaystyle A}$- álgebra de tipo finito si${\displaystyle B}$puede generarse de forma finita como un${\displaystyle A}$- álgebra . Es mucho más fuerte para${\displaystyle B}$ser finito${\displaystyle A}$-álgebra, lo que significa que${\displaystyle B}$se genera finitamente como un${\displaystyle A}$- módulo . Por ejemplo, para cualquier anillo conmutativo${\displaystyle A}$y número natural${\displaystyle n}$, el anillo de polinomios${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$es un${\displaystyle A}$-álgebra de tipo finito, pero no es un álgebra finita.${\displaystyle A}$-álgebra a menos que${\displaystyle A}$= 0 o${\displaystyle n}$= 0. Otro ejemplo de un homomorfismo de tipo finito que no es finito es${\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)}$.

La noción análoga en términos de esquemas es que un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$de esquemas es de tipo finito si${\displaystyle Y}$tiene una cobertura mediante subesquemas abiertos afines${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} (A_{i})}$de tal manera que${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$tiene una cobertura finita mediante subesquemas abiertos afines${\displaystyle U_{ij}=\operatorname {Spec} (B_{ij})}$de${\displaystyle X}$con${\displaystyle B_{ij}}$un${\displaystyle A_{i}}$-álgebra de tipo finito. También se dice que${\displaystyle X}$es de tipo finito sobre${\displaystyle Y}$.

Por ejemplo, para cualquier número natural${\displaystyle n}$y campo${\displaystyle k}$, afín${\displaystyle n}$-espacio y proyectivo${\displaystyle n}$-espacio sobre${\displaystyle k}$son de tipo finito sobre${\displaystyle k}$(es decir, sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$), mientras que no son finitos sobre${\displaystyle k}$a menos que${\displaystyle n}$= 0. De forma más general, cualquier esquema cuasiproyectivo sobre${\displaystyle k}$es de tipo finito sobre${\displaystyle k}$.

El lema de normalización de Noether dice, en términos geométricos, que todo esquema afín${\displaystyle X}$de tipo finito sobre un campo${\displaystyle k}$tiene un morfismo sobreyectivo finito al espacio afín${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$encima${\displaystyle k}$, dónde${\displaystyle n}$es la dimensión de${\displaystyle X}$. Asimismo, todo esquema proyectivo${\displaystyle X}$sobre un cuerpo tiene un morfismo sobreyectivo finito al espacio proyectivo.${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$, dónde${\displaystyle n}$es la dimensión de${\displaystyle X}$.

Bosch, Siegfried (2013). Geometría algebraica y álgebra conmutativa . Londres: Springer . pp. 360–365 . ISBN  9781447148289.