Planitud genérica

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , los teoremas de planitud genérica y libertad genérica establecen que, bajo ciertas hipótesis, un haz de módulos sobre un esquema es plano o libre . Estos teoremas se deben a Alexander Grothendieck .

La planitud genérica establece que si Y es un esquema localmente noetheriano integral , u  : X → Y es un morfismo de tipo finito de esquemas , y F es un módulo O _X coherente , entonces existe un subconjunto abierto no vacío U de Y tal que la restricción de F a u ^{− 1} ( U ) es plana sobre U . ^{[ 1 ]}

Debido a que Y es integral, U es un subconjunto abierto denso de Y. Esto se puede aplicar para deducir una variante de planitud genérica que es verdadera cuando la base no es integral. ^{[ 2 ]} Supongamos que S es un esquema noetheriano, u  : X → S es un morfismo de tipo finito y F es un módulo O _X coherente . Entonces existe una partición de S en subconjuntos localmente cerrados S ₁ , ..., S _n con la siguiente propiedad: Demos a cada S _i su estructura de esquema reducido, denotemos por X _i el producto fibrado X × _S S _i , y denotemos por F _i la restricción F ⊗ _{O S} O _{S i} ; entonces cada F _i es plano.

Generic flatness is a consequence of the generic freeness lemma. Generic freeness states that if A is a noetherianintegral domain, B is a finite typeA-algebra, and M is a finite type B-module, then there exists a non-zero element f of A such that M_f is a free A_f-module.^[3] Generic freeness can be extended to the graded situation: If B is graded by the natural numbers, A acts in degree zero, and M is a graded B-module, then f may be chosen such that each graded component of M_f is free.^[4]

Generic freeness is proved using Grothendieck's technique of dévissage. Another version of generic freeness can be proved using Noether's normalization lemma.

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007/bf02684322. MR 0199181.