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álgebra homológica

Un diagrama utilizado en el lema de la serpiente , un resultado básico del álgebra homológica. El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un...

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Un diagrama utilizado en el lema de la serpiente , un resultado básico del álgebra homológica.

El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un contexto algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a las investigaciones en topología combinatoria (precursora de la topología algebraica ) y álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigias ) a finales del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert .

El álgebra homológica estudia los functores homológicos y las intrincadas estructuras algebraicas que conllevan; su desarrollo estuvo estrechamente ligado al surgimiento de la teoría de categorías . Un concepto central es el de complejos de cadenas , que pueden estudiarse mediante su homología y cohomología .

El álgebra homológica proporciona los medios para extraer la información contenida en estos complejos y presentarla en forma de invariantes homológicos de anillos , módulos, espacios topológicos y otros objetos matemáticos "tangibles". Una sucesión espectral es una herramienta poderosa para ello.

Ha desempeñado un papel fundamental en la topología algebraica. Su influencia se ha expandido gradualmente y actualmente abarca el álgebra conmutativa , la geometría algebraica , la teoría algebraica de números , la teoría de la representación , la física matemática , las álgebras de operadores , el análisis complejo y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La teoría K es una disciplina independiente que se basa en métodos del álgebra homológica, al igual que la geometría no conmutativa de Alain Connes .

Historia

El álgebra homológica comenzó a estudiarse en su forma más básica a finales del siglo XIX como una rama de la topología y en la década de 1940 se convirtió en una materia independiente con el estudio de objetos como el functor ext y el functor tor , entre otros. [ 1 ]

Complejos de cadena y homología

La noción de complejo de cadena es fundamental en el álgebra homológica. Un complejo de cadena abstracto es una secuencia(do∙,d∙){\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}de grupos abelianos y homomorfismos de grupos , con la propiedad de que la composición de cualesquiera dos aplicaciones consecutivas es cero:

do∙:⋯⟶donorte+1⟶dnorte+1donorte⟶dnortedonorte−1⟶dnorte−1⋯,dnorte∘dnorte+1=0.{\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}

Los elementos de C n se denominan n - cadenas y los homomorfismos d n se denominan mapas frontera o diferenciales . Los grupos de cadenas C n pueden estar dotados de una estructura adicional; por ejemplo, pueden ser espacios vectoriales o módulos sobre un anillo fijo R. Los diferenciales deben preservar la estructura adicional si existe; por ejemplo, deben ser mapas lineales u homomorfismos de R -módulos. Para mayor comodidad notacional, restrinjamos la atención a los grupos abelianos (más correctamente, a la categoría Ab de grupos abelianos); un célebre teorema de Barry Mitchell implica que los resultados se generalizarán a cualquier categoría abeliana . Todo complejo de cadenas define dos secuencias adicionales de grupos abelianos, los ciclos Z n  =  Ker d n y las fronteras B n  =  Im d n +1 , donde Ker d e Im d denotan el núcleo y la imagen de d . Dado que la composición de dos mapas frontera consecutivos es cero, estos grupos se incrustan entre sí como  

Bnorte⊆Znorte⊆donorte.{\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}

Los subgrupos de grupos abelianos son automáticamente normales ; por lo tanto, podemos definir el n -ésimo grupo de homología H n ( C ) como el grupo de factores de los n -ciclos por los n -bordes,

Hnorte(do)=Znorte/Bnorte=Kerdnorte/Soydnorte+1.{\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}

Un complejo de cadenas se denomina acíclico o secuencia exacta si todos sus grupos de homología son cero.

Los complejos de cadenas aparecen en abundancia en álgebra y topología algebraica . Por ejemplo, si X es un espacio topológico , entonces las cadenas singulares C n ( X ) son combinaciones lineales formales de aplicaciones continuas del n - símplice estándar en X ; si K es un complejo simplicial , entonces las cadenas simpliciales C n ( K ) son combinaciones lineales formales de los n -símplices de K ; si A  = F / R es una presentación de un grupo abeliano A por generadores y relaciones , donde F es un grupo abeliano libre generado por los generadores y R es el subgrupo de relaciones, entonces haciendo C 1 ( A ) = R , C 0 ( A ) = F , y C n ( A ) = 0 para todos los demás n se define una secuencia de grupos abelianos. En todos estos casos, existen diferenciales naturales d n que convierten a C n en un complejo de cadena, cuya homología refleja la estructura del espacio topológico X , el complejo simplicial K , o el grupo abeliano A . En el caso de los espacios topológicos, llegamos a la noción de homología singular , que desempeña un papel fundamental en la investigación de las propiedades de dichos espacios, por ejemplo, las variedades .       

Desde un punto de vista filosófico, el álgebra homológica nos enseña que ciertos complejos de cadenas asociados a objetos algebraicos o geométricos (espacios topológicos, complejos simpliciales, R -módulos) contienen mucha información algebraica valiosa sobre ellos, siendo la homología solo la parte más fácilmente accesible. Desde un punto de vista técnico, el álgebra homológica proporciona las herramientas para manipular complejos y extraer esta información. A continuación, se presentan dos ejemplos generales.

  • Dos objetos X e Y están conectados por una aplicación f entre ellos. El álgebra homológica estudia la relación, inducida por la aplicación f , entre los complejos de cadenas asociados a X e Y y su homología. Esto se generaliza al caso de varios objetos y aplicaciones que los conectan. Escrito en el lenguaje de la teoría de categorías , el álgebra homológica estudia las propiedades functoriales de diversas construcciones de complejos de cadenas y de la homología de estos complejos.
  • Un objeto X admite múltiples descripciones (por ejemplo, como un espacio topológico y como un complejo simplicial) o el complejodo∙(incógnita){\displaystyle C_{\bullet }(X)}se construye utilizando alguna 'presentación' de X , que implica elecciones no canónicas. Es importante conocer el efecto del cambio en la descripción de X en los complejos de cadena asociados con X. Típicamente, el complejo y su homología H∙(do){\displaystyle H_{\bullet }(C)}son funtoriales con respecto a la presentación; y la homología (aunque no el complejo en sí) es en realidad independiente de la presentación elegida, por lo tanto es un invariante de X.

Aspectos fundamentales

Se han definido teorías de cohomología para diversos objetos, como espacios topológicos , haces , grupos , anillos , álgebras de Lie y C*-álgebras . El estudio de la geometría algebraica moderna sería prácticamente impensable sin la cohomología de haces .

Un concepto central del álgebra homológica es la noción de sucesión exacta ; estas pueden utilizarse para realizar cálculos reales. Una herramienta clásica del álgebra homológica es el functor derivado ; los ejemplos más básicos son los functores Ext y Tor .

Con una amplia gama de aplicaciones en mente, era natural intentar unificar el tema. Hubo varios intentos antes de que se lograra estabilizarlo. Su historia aproximada puede resumirse así:

Estos procesos van desde la computabilidad hasta la generalidad.

La secuencia espectral es la herramienta computacional más poderosa ; resulta esencial en los enfoques de Cartan-Eilenberg y Tohoku, donde se necesita, por ejemplo, para calcular los funtores derivados de una composición de dos funtores. Las secuencias espectrales son menos esenciales en el enfoque de categorías derivadas, pero aun así desempeñan un papel importante cuando se requieren cálculos concretos.

Se han realizado intentos de desarrollar teorías "no conmutativas" que extienden la primera cohomología como torsores (importantes en la cohomología de Galois ).

Herramientas estándar

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia

GRAMO0→F1GRAMO1→F2GRAMO2→F3⋯→FnorteGRAMOnorte{\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}

Se dice que un conjunto de homomorfismos de grupos es exacto si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

imetro(Fk)=kmir(Fk+1).{\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}

Cabe señalar que la secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede establecer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una sucesión exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De forma más general, la noción de sucesión exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y conúcleos .

Corto

El tipo más común de secuencia exacta es la secuencia exacta corta . Esta es una secuencia exacta de la forma

A↪FB↠gramodo{\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}

donde ƒ es un monomorfismo y g es un epimorfismo . En este caso, A es un subobjeto de B , y el cociente correspondiente es isomorfo a C :

do≅B/F(A).{\displaystyle C\cong B/f(A).}

(donde f(A) = im( f )).

Una sucesión exacta corta de grupos abelianos también puede escribirse como una sucesión exacta con cinco términos:

0→A→FB→gramodo→0{\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}

donde 0 representa el objeto cero , como el grupo trivial o un espacio vectorial de dimensión cero. La ubicación de los 0 obliga a que ƒ sea un monomorfismo y a que g sea un epimorfismo (véase más abajo).

Largo

Una secuencia exacta larga es una secuencia exacta indexada por los números naturales .

Cinco lemas

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ) o en la categoría de grupos .

El lema de los cinco establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.

lema de la serpiente

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ), consideremos un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero . Entonces hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y conúcleos de a , b y c :

ker⁡a→ker⁡b→ker⁡do→dcoquería⁡a→coquería⁡b→coquería⁡do{\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo ker a → ker b , y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es coker b → coker c .    

Categorías abelianas

En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden sumar morfismos y objetos, y en la que existen núcleos y conúcleos con propiedades deseables. El prototipo que motiva a una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab . La teoría se originó en un intento tentativo de unificar varias teorías de cohomología por Alexander Grothendieck . Las categorías abelianas son categorías muy estables ; por ejemplo, son regulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas es cerrada bajo varias construcciones categóricas; por ejemplo, la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana, o la categoría de functores de una categoría pequeña a una categoría abeliana, también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen indispensables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene importantes aplicaciones en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras . Las categorías abelianas reciben su nombre de Niels Henrik Abel .

Más concretamente, una categoría es abeliana si

functores derivados

Supongamos que tenemos un functor exacto izquierdo covariante F  : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una sucesión exacta corta en A , entonces al aplicar F se obtiene la sucesión exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntarse cómo continuar esta sucesión hacia la derecha para formar una sucesión exacta larga. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas maneras diferentes de continuar una sucesión exacta dada hacia la derecha. Pero resulta que (si A es suficientemente "buena") hay una manera canónica de hacerlo, dada por los functores derivados derechos de F . Para cada i ≥1, hay un functor R i F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( A ) → R 2 F ( B ) → ... . De esto vemos que F es un functor exacto si y solo si R 1 F = 0; así que, en cierto sentido, los functores derivados de la derecha de F miden "cuán lejos" está F de ser exacto.

functor Ext

Sea R un anillo y sea Mod R la categoría de módulos sobre R. Sea B un elemento de Mod R y sea T ( B ) = Hom R ( A,B ), para un A fijo en Mod R. Este es un functor exacto por la izquierda y, por lo tanto, tiene functores derivados por la derecha R n T . El functor Ext se define por

ExtRnorte⁡(A,B)=(RnorteT)(B).{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}

Esto se puede calcular tomando cualquier resolución inyectiva.

0→B→I0→I1→⋯,{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}

y computación

0→InicioR⁡(A,I0)→InicioR⁡(A,I1)→⋯.{\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}

Entonces ( R n T )( B ) es la cohomología de este complejo. Nótese que Hom R ( A,B ) está excluido del complejo.

Se da una definición alternativa utilizando el functor G ( A )=Hom R ( A,B ). Para un módulo fijo B , este es un functor exacto izquierdo contravariante , y por lo tanto también tenemos functores derivados derechos R n G , y podemos definir

ExtRnorte⁡(A,B)=(RnorteGRAMO)(A).{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}

Esto se puede calcular eligiendo cualquier resolución proyectiva.

⋯→PAG1→PAG0→A→0,{\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}

y procediendo de forma dual mediante el cálculo

0→InicioR⁡(PAG0,B)→InicioR⁡(PAG1,B)→⋯.{\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}

Entonces ( R n G )( A ) es la cohomología de este complejo. Nuevamente, observe que Hom R ( A,B ) está excluido.

Estas dos construcciones dan como resultado resultados isomorfos , por lo que ambas pueden utilizarse para calcular el functor Ext.

functor Tor

Supongamos que R es un anillo y denotemos por R - Mod la categoría de R - módulos izquierdos y por Mod - R la categoría de R - módulos derechos (si R es conmutativo , las dos categorías coinciden). Fijemos un módulo B en R - Mod . Para A en Mod - R , definamos T ( A ) = A ⊗ R B . Entonces T es un functor exacto derecho de Mod - R a la categoría de grupos abelianos Ab (en el caso de que R sea conmutativo, es un functor exacto derecho de Mod - R a Mod - R ) y sus functores derivados izquierdos L n T están definidos. Definimos

TornorteR(A,B)=(LnorteT)(A){\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}

es decir, tomamos una resolución proyectiva

⋯→PAG2→PAG1→PAG0→A→0{\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}

Luego, elimina el término A y aplica el tensor a la resolución proyectiva con B para obtener el complejo.

⋯→PAG2⊗RB→PAG1⊗RB→PAG0⊗RB→0{\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}

(nótese que A ⊗ R B no aparece y la última flecha es solo el mapa cero) y tome la homología de este complejo.

Secuencias espectrales

Fijemos una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo. Una sucesión espectral es una elección de un entero no negativo r 0 y una colección de tres sucesiones:

  1. Para todos los enteros r ≥ r 0 , un objeto E r , llamado hoja (como en una hoja de papel ), o a veces página o término ,
  2. Endomorfismos d r  : E r → E r que satisfacen d r o d r = 0, llamados mapas de frontera o diferenciales ,
  3. Isomorfismos de E r+1 con H ( E r ), la homología de E r con respecto a d r .
La hoja E 2 de una secuencia espectral cohomológica

Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos que procesar, pero existe una técnica de visualización común que hace que la estructura de la secuencia espectral sea más clara. Tenemos tres índices, r , p y q . Para cada r , imaginemos que tenemos una hoja de papel cuadriculado. En esta hoja, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de la cuadrícula tenemos el objetomirpag,q{\displaystyle E_{r}^{p,q}}.

Es muy común que n = p + q sea otro índice natural en la secuencia espectral. n corre diagonalmente, de noroeste a sureste, a través de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado ( − r , r − 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n aumenta en uno. Cuando r es cero, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia abajo o hacia arriba. Esto es similar al diferencial en un complejo de cadena. Cuando r es uno, el diferencial mueve los objetos un espacio a la izquierda o a la derecha. Cuando r es dos, el diferencial mueve los objetos como un movimiento de caballo en ajedrez . Para valores mayores de r , el diferencial actúa como un movimiento de caballo generalizado.   

Funtorialidad

Una aplicación continua de espacios topológicos da lugar a un homomorfismo entre sus grupos de homología n- ésimos para todo n . Este hecho fundamental de la topología algebraica encuentra una explicación natural a través de ciertas propiedades de los complejos de cadenas. Dado que es muy común estudiar varios espacios topológicos simultáneamente, en el álgebra homológica se considera simultáneamente el estudio de múltiples complejos de cadenas.

Un morfismo entre dos complejos de cadena,F:do∙→D∙,{\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}es una familia de homomorfismos de grupos abelianosFnorte:donorte→Dnorte{\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}que conmutan con los diferenciales, en el sentido de queFnorte−1∘dnortedo=dnorteD∘Fnorte{\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}para todo n . Un morfismo de complejos de cadena induce un morfismoH∙(F){\displaystyle H_{\bullet }(F)}de sus grupos de homología, que consisten en los homomorfismosHnorte(F):Hnorte(do)→Hnorte(D){\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}para todo n . Un morfismo F se llama cuasi-isomorfismo si induce un isomorfismo en la n- ésima homología para todo n .

Muchas construcciones de complejos de cadena que surgen en álgebra y geometría, incluyendo la homología singular , tienen la siguiente propiedad de funtorialidad : si dos objetos X e Y están conectados por una aplicación f , entonces los complejos de cadena asociados están conectados por un morfismo.F=do(F):do∙(incógnita)→do∙(Y),{\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}y además, la composicióngramo∘F{\displaystyle g\circ f}de mapas f : X → Y y g : Y → Z induce el morfismo      do(gramo∘F):do∙(incógnita)→do∙(Z){\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}que coincide con la composicióndo(gramo)∘do(F).{\displaystyle C(g)\circ C(f).}De ello se deduce que los grupos de homologíaH∙(do){\displaystyle H_{\bullet }(C)}También son funtoriales, de modo que los morfismos entre objetos algebraicos o topológicos dan lugar a aplicaciones compatibles entre sus homologías.

La siguiente definición surge de una situación típica en álgebra y topología. Una terna que consta de tres complejos de cadenas.L∙,METRO∙,norte∙{\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}y dos morfismos entre ellos,F:L∙→METRO∙,gramo:METRO∙→norte∙,{\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}se denomina triplete exacto , o secuencia corta exacta de complejos , y se escribe como

0⟶L∙⟶FMETRO∙⟶gramonorte∙⟶0,{\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}

si para cualquier n , la secuencia

0⟶Lnorte⟶FnorteMETROnorte⟶gramonortenortenorte⟶0{\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}

es una sucesión exacta corta de grupos abelianos. Por definición, esto significa que f n es una inyección , g n es una sobreyección , e Im f n  =  Ker g n . Uno de los teoremas más básicos del álgebra homológica, a veces conocido como el lema del zigzag , establece que, en este caso, existe una sucesión exacta larga en homología.

⋯⟶Hnorte(L)⟶Hnorte(F)Hnorte(METRO)⟶Hnorte(gramo)Hnorte(norte)⟶δnorteHnorte−1(L)⟶Hnorte−1(F)Hnorte−1(METRO)⟶⋯,{\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}

donde los grupos de homología de L , M y N se suceden cíclicamente, y δ n son ciertos homomorfismos determinados por f y g , llamados homomorfismos de conexión . Las manifestaciones topológicas de este teorema incluyen la sucesión de Mayer-Vietoris y la sucesión exacta larga para la homología relativa .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weibel, Charles A. (1999). «Historia del álgebra homológica». Historia de la topología . págs. 797–836 . doi : 10.1016/b978-044482375-5/50029-8 . ISBN  9780444823755.
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  • Grothendieck, Alejandro (1957). "Sur quelques point d'algèbre homologique, I" . Revista matemática de Tohoku . 9 (2): 119– 221. doi : 10.2748/tmj/1178244839 .
  • Saunders Mac Lane , Homología . Reimpresión de la edición de 1975. Clásicos de las Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
  • Peter Hilton ; Stammbach, U. Un curso de álgebra homológica . Segunda edición. Textos de posgrado en matemáticas, 4. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
  • Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin , Métodos de álgebra homológica . Traducido del ruso. Edición de 1988. Segunda edición. Monografías Springer en Matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
  • Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Álgebra homológica . Traducido del original ruso de 1989 por los autores. Reimpresión de la edición original en inglés de la serie Encyclopaedia of Mathematical Sciences ( Álgebra , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlín, 1994). Springer-Verlag, Berlín, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
  • Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259