Morfismo normal

En la teoría de categorías y sus aplicaciones a las matemáticas , un monomorfismo normal o un epimorfismo conormal es un tipo de morfismo particularmente bien comportado . Una categoría normal es aquella en la que todo monomorfismo es normal. Una categoría conormal es aquella en la que todo epimorfismo es conormal.

Un monomorfismo es normal si es el núcleo de algún morfismo, y un epimorfismo es conormal si es el conúcleo de algún morfismo.

Una categoría C es binormal si es a la vez normal y conormal. Sin embargo, cabe señalar que algunos autores utilizan la palabra "normal" únicamente para indicar que C es binormal.

En la categoría de grupos , un monomorfismo f de H a G es normal si y solo si su imagen es un subgrupo normal de G. En particular, si H es un subgrupo de G , entonces la aplicación de inclusión i de H a G es un monomorfismo, y será normal si y solo si H es un subgrupo normal de G. De hecho, este es el origen del término "normal" para los monomorfismos.

Por otro lado, todo epimorfismo en la categoría de grupos es conormal (ya que es el conúcleo de su propio núcleo), por lo que esta categoría es conormal.

En una categoría abeliana , todo monomorfismo es el núcleo de su conúcleo, y todo epimorfismo es el conúcleo de su núcleo. Por lo tanto, las categorías abelianas son siempre binormales. La categoría de grupos abelianos es el ejemplo fundamental de una categoría abeliana, y, en consecuencia, todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.

• Sección I.14 Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol.  17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787 .