Grupo de cadenas

En topología , una rama de las matemáticas , un grupo de cuerdas es un grupo de dimensión infinita.${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$introducido por Stolz (1996) como un${\displaystyle 3}$Cubierta conexa de un grupo de espín . Una variedad de cuerdas es una variedad con una elevación de su fibrado de marcos a un fibrado de grupos de cuerdas. Esto significa que, además de poder definir holonomías a lo largo de caminos, también se pueden definir holonomías para superficies que van entre cuerdas. Existe una corta secuencia exacta de grupos topológicos.

${\displaystyle 0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

dónde${\displaystyle K(\mathbb {Z},2)}$es un espacio Eilenberg–MacLane y${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$es un grupo de espín. El grupo de cuerdas es una entrada en la torre de Whitehead (dual a la noción de torre de Postnikov ) para el grupo ortogonal :

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}$

Se obtiene matando al${\displaystyle \pi _{3}}$grupo de homotopía para${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$, del mismo modo que${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$se obtiene de${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$matando${\displaystyle \pi _{1}}$. La variedad resultante no puede ser ningún grupo de Lie de dimensión finita , ya que todos los grupos de Lie compactos de dimensión finita tienen un no nulo${\displaystyle \pi _{3}}$El grupo de cinco brazos sigue matando${\displaystyle \pi _{7}}$.

De manera más general, la construcción de la torre de Postnikov a través de secuencias exactas cortas que comienzan con espacios de Eilenberg - MacLane se puede aplicar a cualquier grupo de Lie G , dando como resultado el grupo de cuerdas String ( G ).

La relevancia del espacio Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$radica en el hecho de que existen equivalencias homotópicas.

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación${\displaystyle B\mathbb {Z} }$y el hecho${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$Nótese que esto se debe a que el grupo de espín complejo es una extensión de grupo .

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

El grupo de cuerdas puede considerarse como una extensión de grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superior, ya que el espacio${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$es un ejemplo de un grupo superior. Puede considerarse como la realización topológica del grupoide.${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$cuyo objeto es un único punto y cuyos morfismos son el grupo${\displaystyle U(1)}$. Nótese que el grado homotópico de${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$es${\displaystyle 2}$, lo que significa que su homotopía está concentrada en grado${\displaystyle 2}$, porque proviene de la fibra homotópica del mapa

${\displaystyle \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)}$

de la torre Whitehead cuyo conúcleo homotópico es${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$Esto se debe a que la fibra de homotopía reduce el grado en${\displaystyle 1}$.

El grupo de cinco branas puede entenderse de manera similar ^{[ 2 ]} matando el${\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}$grupo de la cadena${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$utilizando la torre de Whitehead. Luego se puede entender nuevamente utilizando una secuencia exacta de grupos superiores.

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0}$

dar una presentación de${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$en términos de una extensión iterada, es decir una extensión por${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}$por${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$Nótese que el mapa de la derecha corresponde a la torre Whitehead, y el mapa de la izquierda es la fibra de homotopía.

• Gerbe
• Grupo N (teoría de categorías)
• Cohomología elíptica
• Bordismo de cuerdas

• Henriques, André G.; Douglas, Christopher L.; Hill, Michael A. (2011), "Obstáculos homológicos a las orientaciones de cadenas", Int. Math. Res. Notices , 18 : 4074– 4088, arXiv : 0810.2131 , Bibcode : 2008arXiv0810.2131D
• Wockel, Christoph; Sachse, Christoph; Nikolaus, Thomas (2013), "Un modelo suave para el grupo de cuerdas", International Mathematics Research Notices , 2013 (16): 3678–3721 , arXiv : 1104.4288 , Bibcode : 2011arXiv1104.4288N , doi : 10.1093/imrn/rns154
• Stolz, Stephan (1996), "Una conjetura sobre la curvatura positiva de Ricci y el género de Witten", Mathematische Annalen , 304 (4): 785–800 , doi : 10.1007/BF01446319 , ISSN 0025-5831 , MR 1380455 , S2CID 123359573   
• Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004), "¿Qué es un objeto elíptico?" (PDF) , Topología, geometría y teoría cuántica de campos , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol.  308, Cambridge University Press , pp. 247–343 , doi : 10.1017/CBO9780511526398.013 , ISBN  9780521540490, MR 2079378 

• Baez, J. (2007), Teoría de gauge superior y el grupo de cuerdas
• De grupos de bucles a grupos de 2 elementos : proporciona una caracterización de String(n) como un grupo de 2 elementos.
• grupo de cuerdas en el laboratorio n
• Torre Whitehead en el Laboratorio n
• ¿Qué es un objeto elíptico?