Paquete de gerbe

En matemáticas , un gerbe de fibrado es un modelo geométrico de ciertos 1- gerbes con conexión , o equivalentemente de una 2-clase en la cohomología de Deligne .

Topología

$U(1)$ - paquetes principales en un espacio $M$ (véase fibrado circular ) son realizaciones geométricas de 1-clases en la cohomología de Deligne que consisten en conexiones de 1-formas y curvaturas de 2-formas. La topología de un $U(1)$ El paquete se clasifica por su clase Chern , que es un elemento de $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , la segunda cohomología integral de $M$ .

Las gerbes , o más precisamente las 1-gerbes, son descripciones abstractas de las 2-clases de Deligne, cada una de las cuales define un elemento de $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$ , la tercera cohomología integral de M .

Como una clase de cohomología en la cohomología de Deligne

Llamada a revisión para un colector liso $M$ Los grupos de cohomología de Deligne de orden p se definen mediante la hipercohomología del complejo. $\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty }={\underline {\mathbb {Z} }}(q)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} \cdots \xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{q-1}$ llamado peso q complejo de Deligne , donde ${\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{k}$ es el haz de gérmenes de k-formas diferenciales suaves tensorizadas con $\mathbb {C}$ . Entonces, escribimos $\mathbb {H} _{D}^{*}(M,\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty })$ para los grupos de cohomología de Deligne de peso $q$ En el caso $q=3$ El complejo de Deligne es entonces ${\underline {\mathbb {Z} }}(3)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{2}$ Podemos comprender los grupos de cohomología de Deligne observando la resolución de Čech que da un complejo doble. También hay una secuencia exacta corta asociada ^{[ 1 ]}^{: 7} $0\to {\frac {{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}{{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}}}\to \mathbb {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} (3)_{D}^{\infty })\to H^{3}(M,\mathbb {Z} )\to 0$ dónde ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}$ son los gérmenes cerrados de 2-formas con valores complejos en $M$ y ${\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}$ es el subespacio de tales formas donde las integrales de período son enteras. Esto se puede usar para demostrar $H^{3}(M,\mathbb {Z} )$ son las clases de isomorfismo de $\mathbb {C} ^{*}$ gerbes de haz en un colector liso $M$ , o equivalentemente, las clases de isomorfismo de $B\mathbb {C} ^{*}$ -paquetes en $M$ .

Historia

Históricamente , la construcción más popular de una gerbe es un modelo de teoría de categorías que aparece en la teoría de gerbes de Giraud, que son aproximadamente haces de grupoides sobre M.

En 1994 ^{[ 2 ]} Murray introdujo los haces gerbes, que son realizaciones geométricas de los 1-gerbes. Para muchos propósitos, estos son más adecuados para cálculos que la realización de Giraud, porque su construcción está completamente dentro del marco de la geometría clásica. De hecho, como su nombre lo indica, son haces de fibras .

Esta idea se extendió a los gerbes superiores al año siguiente. ^{[ 3 ]}

Relación con la teoría K retorcida

En Twisted K-theory y la K-teoría de gerbes de haces ^{[ 4 ],} los autores definieron módulos de gerbes de haces y los utilizaron para definir una K-teoría para gerbes de haces. Luego demostraron que esta K-teoría es isomorfa a la K-teoría retorcida de Rosenberg y proporciona una construcción sin análisis .

Además, definieron una noción de carácter de Chern retorcido , que es una clase característica para un elemento de la teoría K retorcida. El carácter de Chern retorcido es una forma diferencial que representa una clase en la cohomología retorcida con respecto al operador nilpotente. $d+H$ dónde $d$ es el derivado exterior ordinario y el giro $H$ es una 3-forma cerrada. Esta construcción fue extendida a la teoría K equivariante y a la teoría K holomorfa por Mathai y Stevenson. ^{[ 5 ]}

Relación con la teoría de campos

Los gerbes de fibrado también han aparecido en el contexto de las teorías de campos conformes . Gawedzki y Reis interpretaron el término de Wess-Zumino en el modelo de Wess-Zumino-Witten (WZW) de propagación de cuerdas en una variedad de grupo como la conexión de un gerbe de fibrado. Urs Schreiber , Christoph Schweigert y Konrad Waldorf utilizaron esta construcción para extender los modelos WZW a superficies no orientadas y, de forma más general, el acoplamiento global de Kalb-Ramond a cuerdas no orientadas.

Puedes encontrar más detalles en el n-Category Café :

Paquete Gerbes: Idea general y definición
Paquete Gerbes: conexiones y transporte de superficie

Véase también

Notas

^ Gajer, Pawel (26 de enero de 1996). "Geometría de la cohomología de Deligne". Invenciones Mathematicae . 127 : 155–207 . arXiv : alg-geom/9601025 . doi : 10.1007/s002220050118 . S2CID 18446635 .
↑ en Bundle Gerbes de Michael Murray
↑ en Higher Bundle Gerbes and Cohomology Classes In Gauge Theories por Alan Carey , Michael Murray y Bai-Ling Wang
↑ por Peter Bouwknegt , Alan Carey , Varghese Mathai , Michael Murray y Danny Stevenson
↑ en Carácter de Chern en la teoría K retorcida: casos equivariantes y holomorfos

Referencias

Ramo de gerbes , por Michael Murray.
Introducción a los gerbes en manojo , por Michael Murray.
Gerbes de fibrado no abeliano, su geometría diferencial y teoría de gauge , por Paolo Aschieri, Luigi Cantini y Branislav Jurco.
Paquete de gerbes en arxiv.org

En la teoría de cuerdas

Branas y cuerdas WZW

[1] Gajer, Pawel (26 de enero de 1996). "Geometría de la cohomología de Deligne". Invenciones Mathematicae . 127 : 155–207 . arXiv : alg-geom/9601025 . doi : 10.1007/s002220050118 . S2CID 18446635 .

[2] Bundle Gerbes de Michael Murray

[3] Higher Bundle Gerbes and Cohomology Classes In Gauge Theories por Alan Carey , Michael Murray y Bai-Ling Wang

[4] r Peter Bouwknegt , Alan Carey , Varghese Mathai , Michael Murray y Danny Stevenson

[5] Carácter de Chern en la teoría K retorcida: casos equivariantes y holomorfos

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