Pila de grupo

En geometría algebraica , una pila de grupos es una pila algebraica cuyas categorías de puntos tienen estructuras de grupo o incluso estructuras de grupoide de manera compatible. ^{[ 1 ]} Generaliza un esquema de grupo , que es un esquema cuyos conjuntos de puntos tienen estructuras de grupo de manera compatible.

• Un esquema de grupo es una pila de grupos. De forma más general, un espacio algebraico de grupo , un análogo de espacio algebraico de un esquema de grupo, es una pila de grupos.
• Sobre un campo k , una pila de haces vectoriales${\displaystyle {\mathcal {V}}}$En una pila de Deligne-Mumford X, existe una pila de grupos tal que hay un fibrado vectorial V sobre k en X y una presentación${\displaystyle V\to {\mathcal {V}}}$Tiene una acción por la línea afín.${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$correspondiente a la multiplicación escalar .
• Una pila de Picard es un ejemplo de pila de grupo (o pila de grupoide).

La definición de una acción de grupo de una pila de grupos es un poco complicada. Primero, dada una pila algebraica X y un esquema de grupo G sobre un esquema base S , una acción derecha de G sobre X consiste en:

1. un morfismo${\displaystyle \sigma :X\times G\to X}$,
2. (asociatividad) un isomorfismo natural${\displaystyle \sigma \circ (m\times 1_{X}){\overset {\sim }{\to }}\sigma \circ (1_{X}\times \sigma )}$, donde m es la multiplicación en G ,
3. (identidad) un isomorfismo natural${\displaystyle 1_{X}{\overset {\sim }{\to }}\sigma \circ (1_{X}\times e)}$, dónde${\displaystyle e:S\to G}$es la sección identidad de G ,

que cumplan las condiciones típicas de compatibilidad.

Si, de forma más general, G es una pila de grupos, entonces se extiende lo anterior utilizando presentaciones locales.

• Behrend, K .; Fantechi, B. (1 de marzo de 1997). "El cono normal intrínseco". Invenciones Mathematicae . 128 (1): 45– 88. arXiv : alg-geom/9601010 . Código Bib : 1997 InMat.128...45B . doi : 10.1007/s002220050136 . ISSN 0020-9910 .