Grupo 2 abeliano

Para un esquema o variedad${\displaystyle X}$, hay un grupo 2 abeliano${\displaystyle \operatorname {\textbf {Imagen}} X}$cuyos objetos son haces de líneas${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y los morfismos vienen dados por isomorfismos de haces de líneas. Nótese sobre un haz de líneas dado.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\text{End}}({\mathcal {L}})={\text{Aut}}({\mathcal {L}})\cong {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$

ya que los únicos automorfismos de un fibrado lineal vienen dados por una función no nula en${\displaystyle X}$La estructura aditiva${\displaystyle +}$viene dado por el producto tensorial${\displaystyle \otimes }$en los haces de líneas. Esto aclara por qué debería haber transformaciones naturales en lugar de igualdad de functores . Por ejemplo, solo tenemos un isomorfismo de haces de líneas.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}'\cong {\mathcal {L}}'\otimes {\mathcal {L}}}$

pero no igualdad directa. Este isomorfismo es independiente de los haces de líneas elegidos y son funtoriales, por lo que dan la transformación natural.

${\displaystyle \tau$ :(-\otimes -)\to (-\otimes -)}

intercambiando los componentes. La asociatividad se deduce de forma similar de la asociatividad de los productos tensoriales de haces de líneas.

Otra fuente para las categorías de Picard son los complejos de cadena de dos términos de los grupos abelianos.

${\displaystyle A^{-1}\xrightarrow {d} A^{0}}$

que tienen asociada una estructura de grupoide canónica. Podemos escribir el conjunto de objetos como el grupo abeliano.${\displaystyle A^{0}}$y el conjunto de flechas como el conjunto${\displaystyle A^{-1}\oplus A^{0}}$. Luego, el morfismo fuente${\displaystyle s}$de una flecha${\displaystyle (a_{-1},a_{0})}$es el mapa de proyección

${\displaystyle s(a_{-1}+a_{0})=a_{0}}$

y el morfismo objetivo${\displaystyle t}$es

${\displaystyle t(a_{-1}+a_{0})=d(a_{-1})+a_{0}}$

Nótese que esta definición implica el grupo de automorfismos de cualquier objeto.${\displaystyle a_{0}}$es${\displaystyle \operatorname {Ker} d}$Nótese que si repetimos esta construcción para haces de grupos abelianos sobre un sitio${\displaystyle X}$(o espacio topológico ), obtenemos un haz de 2-grupos abelianos. Podría conjeturarse si esto puede usarse para construir todas esas categorías, pero no es así. De hecho, esta construcción debe generalizarse a espectros para dar una generalización precisa. ^{[ 3 ] pág. 88}

Para un par de 2-grupos abelianos${\displaystyle \mathbb {A} ,\mathbb {A} '}$Existe un 2-grupo abeliano de morfismos asociado.

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {A} ,\mathbb {A} ')}$

cuyos objetos están dados por functores entre estas dos categorías, y las flechas están dadas por transformaciones naturales. Además, el bifunctor ${\displaystyle +'}$en${\displaystyle \mathbb {A} '}$induce una estructura bifuncional en este grupoide, dándole una estructura de 2 grupos abelianos.

Para un grupo abeliano de 2 grupos${\displaystyle \mathbb {A} }$y un objeto fijo${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(\mathbb {A} )}$los isomorfismos de los functores${\displaystyle x+(-)}$y${\displaystyle (-)+x}$dada por la flecha de conmutatividad

${\displaystyle \tau :x+x\Rightarrow x+x}$

da un elemento del grupo de automorfismos${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$qué cuadrados a${\displaystyle 1}$, por lo tanto está contenido en algún${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$. A veces esto se escribe de forma sugerente como${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )}$Podemos llamar a este elemento${\displaystyle \varepsilon }$y este invariante induce un morfismo a partir de las clases de isomorfismo de objetos en${\displaystyle \mathbb {A} }$, denotado${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )}$, a${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$, es decir, da un morfismo

${\displaystyle \varepsilon$ :\pi _{0}(\mathbb {A} )\otimes \mathbb {Z} /2\to \pi _{1}(\mathbb {A} )={\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}

lo que corresponde al invariante de Postnikov . En particular, toda categoría de Picard dada como un complejo de cadena de dos términos tiene${\displaystyle \varepsilon =0}$porque, según la correspondencia de Dold-Kan, corresponden a grupos abelianos simpliciales con realizaciones topológicas como producto de espacios de Eilenberg-MacLane.

${\displaystyle K(H^{-1}(A^{\bullet }),1)\times K(H^{0}(A^{\bullet }),0)}$

Por ejemplo, si tenemos una categoría Picard con${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} /2}$y${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} }$, no hay ningún complejo de cadenas de grupos abelianos que dé estos grupos de homología ya que${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$Solo puede darse mediante una proyección.

${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot 2} \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2}$

En cambio, esta categoría de Picard puede entenderse como una realización categórica del espectro truncado.${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbb {S} }$del espectro de la esfera donde los únicos dos grupos de homotopía no triviales del espectro están en grados${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$.