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objeto grupoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto grupoide es a la vez una generalización de un grupoide que se construye sobre estructuras más ricas que los ...

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto grupoide es a la vez una generalización de un grupoide que se construye sobre estructuras más ricas que los conjuntos, y una generalización de un objeto grupo cuando la multiplicación está solo parcialmente definida .

Definición

Un objeto grupoide en una categoría C que admite productos de fibra finitos consta de un par de objetosR,U{\displaystyle R,U}junto con cinco morfismos

s,t:R→U, mi:U→R, metro:R×U,t,sR→R, i:R→R{\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}

que satisfacen los siguientes axiomas de grupoide

  1. s∘mi=t∘mi=1U,s∘metro=s∘pag1,t∘metro=t∘pag2{\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}donde elpagi:R×U,t,sR→R{\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}son las dos proyecciones,
  2. (asociatividad)metro∘(1R×metro)=metro∘(metro×1R),{\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}
  3. (unidad)metro∘(mi∘s,1R)=metro∘(1R,mi∘t)=1R,{\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}
  4. (inverso)i∘i=1R{\displaystyle i\circ i=1_{R}},s∘i=t,t∘i=s{\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s},metro∘(1R,i)=mi∘s,metro∘(i,1R)=mi∘t{\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}. [ 1 ]

Ejemplos

Objetos de grupo

Un objeto de grupo es un caso especial de un objeto grupoide, dondeR=U{\displaystyle R=U}ys=t{\displaystyle s=t}Por lo tanto, se recuperan los grupos topológicos tomando la categoría de espacios topológicos , o los grupos de Lie tomando la categoría de variedades , etc.

Grupoides

Un objeto grupoide en la categoría de conjuntos es precisamente un grupoide en el sentido usual: una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo . En efecto, dada tal categoría C , tomemos U como el conjunto de todos los objetos en C , R el conjunto de todos los morfismos en C , los cinco morfismos dados pors(incógnita→y)=incógnita,t(incógnita→y)=y{\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y},metro(F,gramo)=gramo∘F{\displaystyle m(f,g)=g\circ f},mi(incógnita)=1incógnita{\displaystyle e(x)=1_{x}}yi(F)=F−1{\displaystyle i(f)=f^{-1}}Cuando el término "grupoide" puede referirse naturalmente a un objeto grupoide en alguna categoría particular en mente, el término conjunto grupoide se utiliza para referirse a un objeto grupoide en la categoría de conjuntos.

Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior con grupos de Lie, un objeto grupoide en la categoría de variedades no es necesariamente un grupoide de Lie , ya que los mapas s y t no satisfacen requisitos adicionales (no son necesariamente inmersiones ).

Esquemas de grupoides

Un esquema S de grupoide es un objeto de grupoide en la categoría de esquemas sobre algún esquema base fijo S. SiU=S{\displaystyle U=S}, luego un esquema de grupoide (dondes=t{\displaystyle s=t}son necesariamente el mapa de estructura) es lo mismo que un esquema de grupo . Un esquema de grupoide también se llama grupoide algebraico , [ 2 ] para transmitir la idea de que es una generalización de los grupos algebraicos y sus acciones.

Por ejemplo, supongamos que un grupo algebraico G actúa desde la derecha sobre un esquema U. Entonces, tomemosR=U×GRAMO{\displaystyle R=U\times G}, s la proyección, t la acción dada. Esto determina un esquema de grupoide.

Construcciones

Dado un objeto grupoide ( R , U ), el ecualizador deR⇉tsU{\displaystyle R\,{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}\,U}Si existe, es un objeto de grupo llamado grupo de inercia del grupoide. El coecualizador del mismo diagrama, si existe, es el cociente del grupoide.

Cada objeto grupoide en una categoría C (si la hay) puede considerarse como un functor contravariante de C a la categoría de grupoides. De esta forma, cada objeto grupoide determina un preapilamiento en grupoides. Este preapilamiento no es una pila , pero puede transformarse en una pila.

El uso principal de la noción es que proporciona un atlas para una pila. Más específicamente, dejemos[R⇉U]{\displaystyle [R\rightrightarrows U]}ser la categoría de(R⇉U){\displaystyle (R\rightrightarrows U)}-torsores . Entonces es una categoría fibrada en grupoides ; de hecho (en un caso agradable), una pila de Deligne-Mumford . Recíprocamente, cualquier pila DM es de esta forma.

Véase también

Notas

Referencias

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