Representación adjunta

En matemáticas , la representación adjunta (o acción adjunta ) de un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo , considerada como un espacio vectorial . Por ejemplo, si G es${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$, el grupo de Lie de matrices invertibles reales n -por -n , entonces la representación adjunta es el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n -por -n${\displaystyle g}$a un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$definido por:${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$.

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando la diferencial de) la acción de G sobre sí mismo por conjugación . La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre cuerpos arbitrarios .

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de mentiras y dejar

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

ser el mapeo${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$, con${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$el grupo de automorfismos de${\displaystyle G}$y${\displaystyle \Psi _{g}:G\rightarrow G}$dado por el automorfismo interno (conjugación)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Este${\displaystyle \Psi }$es un homomorfismo de grupo (es un homomorfismo de grupo de Lie si${\displaystyle G}$está conectado ^{[ 1 ]} ).

Para cada${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$, definir${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ser el derivado de${\displaystyle \Psi _{g}}$en el origen:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

dónde${\displaystyle d}$es el diferencial y${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$es el espacio tangente en el origen e ( siendo e el elemento identidad del grupo G ). Dado que${\displaystyle \Psi _{g}}$es un automorfismo de grupo de Lie, Ad _g es un automorfismo de álgebra de Lie ; es decir, una transformación lineal invertible de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a sí mismo que preserva el corchete de Lie . Además, dado que${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$es un homomorfismo de grupo,${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$también es un homomorfismo de grupo. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el mapa

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

es una representación de grupo llamada representación adjunta de G.

Si G es un grupo de Lie lineal , entonces el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$consta de matrices y el mapa exponencial es la exponencial matricial.${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$para matrices X con normas de operador pequeñas. Calcularemos la derivada de ${\displaystyle \Psi _{g}}$en${\displaystyle e}$. Para g en G y X pequeño en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, la curva${\displaystyle t\to \exp(tX)}$tiene derivado${\displaystyle X}$En t = 0, se obtiene entonces:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

donde a la derecha tenemos los productos de matrices. Si${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$es un subgrupo cerrado (es decir, G es un grupo de Lie matricial), entonces esta fórmula es válida para todo g en G y todo X en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

En resumen, una representación adjunta es una representación de isotropía asociada a la acción de conjugación de G alrededor del elemento identidad de G.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea un álgebra de Lie sobre algún cuerpo. Dado un elemento x de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, se define la acción adjunta de x sobre${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como el mapa

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

para todos y en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se denomina endomorfismo adjunto o acción adjunta .${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$también se suele denominar como${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$Dado que un corchete es bilineal, esto determina la transformación lineal.

${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}

dado por x ↦ ad _x . Dentro del Fin${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$, el corchete viene dado, por definición, por el conmutador de los dos operadores:

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

dónde${\displaystyle \circ }$denota la composición de mapas lineales. Usando la definición anterior del corchete, la identidad de Jacobi

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

toma la forma

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

donde x , y y z son elementos arbitrarios de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Esta última identidad dice que ad es un homomorfismo de álgebra de Lie; es decir, una aplicación lineal que transforma corchetes en corchetes. Por lo tanto, ad es una representación de un álgebra de Lie y se denomina representación adjunta del álgebra.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$En un lenguaje más propio de la teoría de módulos, la construcción dice que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un módulo sobre sí mismo.

El núcleo del anuncio es el centro de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(eso es simplemente reformular la definición). Por otro lado, para cada elemento z en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, el mapeo lineal${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$obedece la ley de Leibniz :

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

para todo x e y en el álgebra (la reformulación de la identidad de Jacobi). Es decir, ad _z es una derivación y la imagen de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$bajo ad es una subálgebra de Der${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$, el espacio de todas las derivaciones de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G , ad es el diferencial de Ad en el elemento identidad de G.

Existe la siguiente fórmula similar a la fórmula de Leibniz : para escalares${\displaystyle \alpha ,\beta }$y elementos del álgebra de Lie${\displaystyle x,y,z}$,

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

Los elementos de matriz explícitos de la representación adjunta vienen dados por las constantes de estructura del álgebra. Es decir, sea {e ⁱ } un conjunto de vectores base para el álgebra, con

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Entonces, los elementos de la matriz para ad _{e ⁱ} vienen dados por

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

Así, por ejemplo, la representación adjunta de su(2) es la representación definitoria de so(3) .

• Si G es abeliano de dimensión n , la representación adjunta de G es la representación trivial de dimensión n .
• Si G es un grupo de Lie matricial (es decir, un subgrupo cerrado de${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$), entonces su álgebra de Lie es un álgebra de matrices n × n con el conmutador para un corchete de Lie (es decir, una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$). En este caso, la aplicación adjunta viene dada por Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ .
• Si G es SL(2, R ) (matrices reales de 2×2 con determinante 1), el álgebra de Lie de G consiste en matrices reales de 2×2 con traza 0. La representación es equivalente a la dada por la acción de G por sustitución lineal en el espacio de formas cuadráticas binarias (es decir, de 2 variables) .

La siguiente tabla resume las propiedades de los distintos mapas mencionados en la definición.

La imagen de G bajo la representación adjunta se denota por Ad( G ). Si G es conexo , el núcleo de la representación adjunta coincide con el núcleo de Ψ, que es precisamente el centro de G. Por lo tanto, la representación adjunta de un grupo de Lie conexo G es fiel si y solo si G _no tiene centro. De forma más general, si G no es conexo, entonces el núcleo de la aplicación adjunta es el centralizador de la componente identidad G₀ de G. Por el primer teorema de isomorfismo tenemos

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Dado un álgebra de Lie real de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Según el tercer teorema de Lie , existe un grupo de Lie conexo.${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$cuyo álgebra de Lie es la imagen de la representación adjunta de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(es decir,${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$.) Se le llama grupo adjunto de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Ahora bien, si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo G , entonces${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$es la imagen de la representación adjunta de G :${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$.

Si G es semisimple , los pesos no nulos de la representación adjunta forman un sistema de raíces . ^{[ 7 ]} (En general, es necesario pasar a la complejización del álgebra de Lie antes de continuar). Para ver cómo funciona esto, consideremos el caso G = SL( n , R ). Podemos tomar el grupo de matrices diagonales diag( t ₁ ,  ..., t _n ) como nuestro toro maximal T . La conjugación por un elemento de T envía 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

Así, T actúa trivialmente sobre la parte diagonal del álgebra de Lie de G y con autovectores t _i t _j ^{− 1} sobre las distintas entradas fuera de la diagonal. Las raíces de G son los pesos diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ^{− 1} . Esto explica la descripción estándar del sistema de raíces de G  =  SL _n ( R ) como el conjunto de vectores de la forma e _i − e _j .

La representación adjunta también puede definirse para grupos algebraicos sobre cualquier cuerpo.

La representación coadjunta es la representación contragrediente de la representación adjunta. Alexandre Kirillov observó que la órbita de cualquier vector en una representación coadjunta es una variedad simpléctica . Según la filosofía en teoría de representaciones conocida como método de órbitas (véase también la fórmula de caracteres de Kirillov ), las representaciones irreducibles de un grupo de Lie G deben indexarse ​​de alguna manera mediante sus órbitas coadjuntas. Esta relación es más estrecha en el caso de los grupos de Lie nilpotentes .

• Paquete adjunto

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• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva  ed.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.