Paquete adjunto

En matemáticas , un fibrado adjunto ^{[ 1 ]} es un fibrado vectorial asociado naturalmente a cualquier fibrado principal liso . Las fibras del fibrado adjunto poseen una estructura de álgebra de Lie , lo que lo convierte en un fibrado de álgebra (no asociativo) . Los fibrados adjuntos tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones , así como en la teoría de gauge .

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y sea P un fibrado G principal sobre una variedad diferenciable M.

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$

Sea la representación adjunta (izquierda) de G. El fibrado adjunto de P es el fibrado asociado.

${\displaystyle \mathrm {anuncio} P=P\times _{\mathrm {Anuncio} }{\mathfrak {g}}}$

El fibrado adjunto también se denota comúnmente por${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$. Explícitamente, los elementos del fibrado adjunto son clases de equivalencia de pares [ p , X ] para p ∈ P y X ∈${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de tal manera que

${\displaystyle [p\cdot g,X]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(X)]}$

para todo g ∈ G . Dado que el grupo de estructura del fibrado adjunto consiste en automorfismos de álgebra de Lie , las fibras naturalmente llevan una estructura de álgebra de Lie, convirtiendo el fibrado adjunto en un fibrado de álgebras de Lie sobre M .

Sea G cualquier grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y sea H un subgrupo cerrado de G. Mediante la representación adjunta (izquierda) de G${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, G se convierte en un grupo de transformaciones topológicas${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Al restringir la representación adjunta de G al subgrupo H,

${\displaystyle \mathrm {Anuncio\vert _ {H}} :H\hookrightarrow G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

Además, H actúa como un grupo de transformación topológica en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Para cada h en H,${\displaystyle Ad\vert _{H}(h):{\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}$es un automorfismo de álgebra de Lie.

Dado que H es un subgrupo cerrado del grupo de Lie G, el espacio homogéneo M=G/H es el espacio base de un fibrado principal.${\displaystyle G\to M}$con espacio total G y grupo estructural H. Por lo tanto, la existencia de funciones de transición con valores H.${\displaystyle g_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow H}$está asegurado, donde${\displaystyle U_{i}}$es una cubierta abierta para M y las funciones de transición${\displaystyle g_{ij}}$Forman un cociclo de función de transición en M. El haz de fibras asociado${\displaystyle \xi =(E,p,M,{\mathfrak {g}})=G[({\mathfrak {g}},\mathrm {Anuncio\vert _ {H}} )]}$es un haz de álgebras de Lie, con fibra típica${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y un mapeo continuo${\displaystyle \Theta$ :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi } induce en cada fibra el corchete de Lie. ^{[ 2 ]}

Formas diferenciales en M con valores en${\displaystyle \mathrm {anuncio} P}$están en correspondencia biunívoca con formas horizontales, G- equivariantes con valores en álgebras de Lie en P. Un ejemplo primordial es la curvatura de cualquier conexión en P que puede considerarse como una 2-forma en M con valores en${\displaystyle \mathrm {anuncio} P}$.

El espacio de secciones del fibrado adjunto es, naturalmente, un álgebra de Lie (de dimensión infinita). Puede considerarse como el álgebra de Lie del grupo de Lie de dimensión infinita de transformaciones de gauge de P , que pueden pensarse como secciones del fibrado.${\displaystyle P\times _ {\mathrm {c} onj}G}$donde conj es la acción de G sobre sí mismo mediante la conjugación (izquierda) .

Si${\displaystyle P={\mathcal {F}}(E)}$es el fibrado de marcos de un fibrado vectorial${\displaystyle E\to M}$, entonces${\displaystyle P}$tiene fibra en el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$(ya sea real o complejo, dependiendo de${\displaystyle E}$) dónde${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$. Este grupo de estructura tiene un álgebra de Lie que consta de todos${\displaystyle r\times r}$matrices${\displaystyle \operatorname {Mat} (r)}$y estos pueden considerarse como los endomorfismos del fibrado vectorial.${\displaystyle E}$De hecho, existe un isomorfismo natural.${\displaystyle \operatorname {ad} {\mathcal {F}}(E)\cong \operatorname {End} (E)}$.

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol.  1, Wiley Interciencia , ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial , Springer, págs.  161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3Como PDF