Representación dual

Si una representación (de dimensión finita) es irreducible, entonces la representación dual también lo es ^{[ 4 ]} , pero no necesariamente isomorfa a la representación original. Por otro lado, la dual de la dual de cualquier representación es isomorfa a la representación original.

Consideremos una representación unitaria.${\displaystyle \rho }$de un grupo${\displaystyle G}$y trabajemos en una base ortonormal . Por lo tanto,${\displaystyle \rho }$mapas${\displaystyle G}$en el grupo de matrices unitarias . Entonces, la transpuesta abstracta en la definición de la representación dual puede identificarse con la transpuesta de la matriz ordinaria. Dado que el adjunto de una matriz es el conjugado complejo de la transpuesta, la transpuesta es el conjugado del adjunto. Por lo tanto,${\displaystyle \rho ^{\ast }(g)}$es el conjugado complejo del adjunto del inverso de${\displaystyle \rho (g)}$Pero desde entonces${\displaystyle \rho (g)}$se supone que es unitario, el adjunto del inverso de${\displaystyle \rho (g)}$es solo${\displaystyle \rho (g)}$.

La conclusión de esta discusión es que cuando se trabaja con representaciones unitarias en una base ortonormal,${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$es simplemente el conjugado complejo de${\displaystyle \rho (g)}$.

En la teoría de representación de SU(2), el dual de cada representación irreducible resulta ser isomorfo a la representación. Pero para las representaciones de SU(3) , el dual de la representación irreducible con etiqueta${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$es la representación irreducible con etiqueta${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$. ^{[ 5 ]} En particular, la representación tridimensional estándar de SU(3) (con el peso más alto)${\displaystyle (1,0)}$) no es isomorfo a su dual. En la teoría de quarks en la literatura física, la representación estándar y su dual se denominan "${\displaystyle 3}$" y "${\displaystyle {\bar {3}}}$"

De forma más general, en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples (o la teoría de representación estrechamente relacionada de grupos de Lie compactos ), los pesos de la representación dual son los negativos de los pesos de la representación original. ^{[ 6 ]} (Véase la figura). Ahora bien, para un álgebra de Lie dada, si ocurriera que el operador${\displaystyle -I}$es un elemento del grupo de Weyl , entonces los pesos de cada representación son automáticamente invariantes bajo el mapa${\displaystyle \mu \mapsto -\mu }$Para tales álgebras de Lie, toda representación irreducible será isomorfa a su dual. (Esta es la situación para SU(2), donde el grupo de Weyl es${\displaystyle \{I,-I\}}$.) Las álgebras de Lie con esta propiedad incluyen las álgebras de Lie ortogonales impares.${\displaystyle \operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )}$(tipo${\displaystyle B_{n}}$) y las álgebras de Lie simplécticas${\displaystyle \operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )}$(tipo${\displaystyle C_{n}}$).

Si, para un álgebra de Lie dada,${\displaystyle -I}$Si no pertenece al grupo de Weyl, entonces el dual de una representación irreducible no será genéricamente isomorfo a la representación original. Para comprender cómo funciona esto, observamos que siempre hay un único elemento del grupo de Weyl.${\displaystyle w_{0}}$mapeando el negativo de la cámara de Weyl fundamental a la cámara de Weyl fundamental. Entonces, si tenemos una representación irreducible con el peso más alto${\displaystyle \mu }$, el peso más bajo de la representación dual será${\displaystyle -\mu }$. De ello se deduce que el peso más alto de la representación dual será${\displaystyle w_{0}\cdot (-\mu )\,}$. ^{[ 7 ]} Dado que estamos asumiendo${\displaystyle -I}$no pertenece al grupo Weyl,${\displaystyle w_{0}}$no puede ser${\displaystyle -I}$, lo que significa que el mapa${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$no es la identidad. Por supuesto, aún puede suceder que para ciertas elecciones especiales de${\displaystyle \mu }$, podríamos tener${\displaystyle \mu =w_{0}\cdot (-\mu )}$. La representación adjunta , por ejemplo, es siempre isomorfa a su dual.

En el caso de SU(3) (o su álgebra de Lie complejizada,${\displaystyle \operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )}$), podemos elegir una base que consta de dos raíces${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$en un ángulo de 120 grados, de modo que la tercera raíz positiva es${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$. En este caso, el elemento${\displaystyle w_{0}}$es la reflexión sobre la línea perpendicular a${\displaystyle \alpha _{3}}$. Luego el mapa${\displaystyle \mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )}$es la reflexión sobre la línea que pasa${\displaystyle \alpha _{3}}$. ^{[ 8 ]} Las representaciones autoduales son entonces las que se encuentran a lo largo de la línea que pasa por${\displaystyle \alpha _{3}}$Estas son las representaciones con etiquetas de la forma${\displaystyle (m,m)}$, que son las representaciones cuyos diagramas de peso son hexágonos regulares .