Representación conjugada compleja

En matemáticas , si G es un grupo y Π es una representación del mismo sobre el espacio vectorial complejo V , entonces la representación conjugada compleja Π se define sobre el espacio vectorial conjugado complejo V de la siguiente manera:

Π ( g ) es el conjugado de Π( g ) para todos los g en G .

Π también es una representación, como se puede comprobar explícitamente.

Si g es un álgebra de Lie real y π es una representación de ella sobre el espacio vectorial V , entonces la representación conjugada π se define sobre el espacio vectorial conjugado V de la siguiente manera:

π ( X ) es el conjugado de π( X ) para todo X en g . ^{[ 1 ]}

π también es una representación, como se puede comprobar explícitamente.

Si dos álgebras de Lie reales tienen la misma complejización , y tenemos una representación compleja del álgebra de Lie complejizada, sus representaciones conjugadas seguirán siendo diferentes. Véase espinor para algunos ejemplos asociados con las representaciones espinoriales de los grupos de espín Spin( p + q ) y Spin( p , q ) .

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra *-Lie (un álgebra de Lie compleja con una operación * que es compatible con el corchete de Lie),

π ( X ) es el conjugado de − π( X *) para todo X en g

Para una representación unitaria de dimensión finita , la representación dual y la representación conjugada coinciden. Esto también se cumple para las representaciones pseudounitarias.

• Representación dual