Representación de la isotropía

En geometría diferencial, la representación de isotropía es una representación lineal natural de un grupo de Lie que actúa sobre una variedad, sobre el espacio tangente a un punto fijo.

Acción de grupo de Given a Lie${\displaystyle (G,\sigma )}$en una variedad M , si G _o es el estabilizador de un punto o (subgrupo de isotropía en o ), entonces, para cada g en G _o ,${\displaystyle \sigma _{g}:M\to M}$fija o y, por lo tanto, al tomar la derivada en o se obtiene el mapa${\displaystyle (d\sigma _{g})_{o}:T_{o}M\to T_{o}M.}$Según la regla de la cadena ,

${\displaystyle (d\sigma _{gh})_{o}=d(\sigma _{g}\circ \sigma _{h})_{o}=(d\sigma _{g})_{o}\circ (d\sigma _{h})_{o}}$

y por lo tanto hay una representación:

${\displaystyle \rho :G_{o}\to \operatorname {GL} (T_{o}M)}$

dado por

${\displaystyle \rho (g)=(d\sigma _{g})_{o}}$.

Se denomina representación de isotropía en o . Por ejemplo, si${\displaystyle \sigma }$es una acción de conjugación de G sobre sí mismo, entonces la representación de isotropía${\displaystyle \rho }$en el elemento identidad e es la representación adjunta de${\displaystyle G=G_{e}}$.

• http://www.math.toronto.edu/karshon/grad/2009-10/2010-01-11.pdf
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Isotropy_representation
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva  ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.