Clasificación ADE

En matemáticas , la clasificación ADE (originalmente clasificaciones ADE ) es una situación en la que ciertos tipos de objetos se corresponden con diagramas de Dynkin simplemente enlazados . La cuestión de dar un origen común a estas clasificaciones, en lugar de una verificación a posteriori de un paralelismo, se planteó en ( Arnold 1976 ) . La lista completa de diagramas de Dynkin simplemente enlazados comprende

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

Aquí "simplemente entrelazado" significa que no hay múltiples aristas, lo que corresponde a todas las raíces simples en el sistema radicular que forman ángulos de${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$(sin arista entre los vértices) o${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$(una sola arista entre los vértices). Estas son dos de las cuatro familias de diagramas de Dynkin (omitiendo${\displaystyle B_{n}}$y${\displaystyle C_{n}}$), y tres de los cinco diagramas excepcionales de Dynkin (omitiendo${\displaystyle F_{4}}$y${\displaystyle G_{2}}$).

Esta lista no es redundante si se toma${\displaystyle n\geq 4}$para${\displaystyle D_{n}.}$Si se extienden las familias para incluir términos redundantes, se obtienen los isomorfismos excepcionales.

${\ Displaystyle D_ {3} \ cong A_ {3}, E_ {4} \ cong A_ {4}, E_ {5} \ cong D_ {5},}$

y los isomorfismos correspondientes de los objetos clasificados.

La nomenclatura A , D , E también produce los grupos de Coxeter finitos simplemente enlazados , mediante los mismos diagramas: en este caso, los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter, ya que no hay aristas múltiples.

En términos de álgebras de Lie semisimples complejas:

• ${\displaystyle A_{n}}$corresponde a${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C}),}$el álgebra de Lie lineal especial de operadores sin traza ,
• ${\displaystyle D_{n}}$corresponde a${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$el álgebra de Lie ortogonal especial par de operadores antisimétricos de dimensión par , y
• ${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$son tres de las cinco álgebras de Lie excepcionales.

En términos de álgebras de Lie compactas y grupos de Lie simplemente enlazados correspondientes :

• ${\displaystyle A_{n}}$corresponde a${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$el álgebra del grupo unitario especial${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\displaystyle D_{n}}$corresponde a${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$el álgebra del grupo ortogonal especial proyectivo par${\displaystyle PSO(2n)}$, mientras
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$son tres de las cinco álgebras de Lie compactas excepcionales .

La misma clasificación se aplica a subgrupos discretos de${\displaystyle SU(2)}$, los grupos poliédricos binarios ; propiamente, los grupos poliédricos binarios corresponden a los diagramas de Dynkin afines simplemente enlazados.${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$y las representaciones de estos grupos pueden entenderse en términos de estos diagramas. Esta conexión se conoce como laCorrespondencia de McKay segúnJohn McKay. La conexión conlos sólidos platónicosse describe en(Dickson 2004). La correspondencia utiliza la construcción delgrafo de McKay.

Nótese que la correspondencia ADE no es la correspondencia de los sólidos platónicos con su grupo de reflexión de simetrías: por ejemplo, en la correspondencia ADE el tetraedro , el cubo / octaedro y el dodecaedro / icosaedro corresponden a${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$mientras que los grupos de reflexión del tetraedro, cubo/octaedro y dodecaedro/icosaedro son, en cambio, representaciones de los grupos de Coxeter.${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$y${\displaystyle H_{3}.}$

El orbifold de${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$La construcción utilizando cada subgrupo discreto conduce a una singularidad de tipo ADE en el origen, denominada singularidad de du Val .

La correspondencia de McKay puede extenderse a diagramas de Dynkin con múltiples enlaces, utilizando un par de grupos poliédricos binarios. Esto se conoce como la correspondencia de Slodowy , llamada así en honor a Peter Slodowy ( véase Stekolshchik 2008 ) .

Los grafos ADE y los grafos ADE extendidos (afines) también pueden caracterizarse en términos de etiquetas con ciertas propiedades, ^{[ 1 ]} que pueden expresarse en términos de los operadores de Laplace discretos ^{[ 2 ]} o matrices de Cartan . Las demostraciones en términos de matrices de Cartan pueden encontrarse en ( Kac 1990 , pp. 47–54) .

Los grafos ADE afines son los únicos grafos que admiten un etiquetado positivo (etiquetado de los nodos con números reales positivos) con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta es la suma de las etiquetas de los vértices adyacentes.

Es decir, son las únicas funciones positivas con valor propio 1 para el laplaciano discreto (suma de vértices adyacentes menos el valor del vértice) – las soluciones positivas de la ecuación homogénea:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

De forma equivalente, las funciones positivas en el núcleo de${\displaystyle \Delta -I.}$La numeración resultante es única salvo por la escala, y si se normaliza de manera que el número más pequeño sea 1, consta de números enteros pequeños, del 1 al 6, dependiendo del gráfico.

Los grafos ADE ordinarios son los únicos grafos que admiten un etiquetado positivo con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta menos dos es la suma de las etiquetas en vértices adyacentes.

En términos del laplaciano, las soluciones positivas de la ecuación no homogénea son:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

La numeración resultante es única (la escala se especifica mediante el "2") y consta de números enteros; para E ₈ , van desde 58 hasta 270, y se han observado ya en ( Bourbaki 1968 ) .

Las catástrofes elementales también se clasifican según la clasificación ADE.

Los diagramas ADE son exactamente los carcajes de tipo finito, según el teorema de Gabriel .

También existe una relación con los cuadriláteros generalizados , ya que los tres GQ no degenerados con tres puntos en cada línea corresponden a los tres sistemas de raíces excepcionales E ₆ , E ₇ y E ₈ . ^{[ 3 ]} Las clases A y D corresponden a casos degenerados donde el conjunto de líneas está vacío o tenemos todas las líneas que pasan por un punto fijo, respectivamente. ^{[ 4 ]}

Se sugirió que las simetrías de los pequeños cúmulos de gotas pueden estar sujetas a una clasificación ADE. ^{[ 5 ]}

Los modelos mínimos de la teoría de campos conformes bidimensional tienen una clasificación ADE.

Cuatro dimensiones${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$Las teorías de quiver de gauge superconformes con grupos de gauge unitarios tienen una clasificación ADE.

Posteriormente, Arnold propuso numerosas extensiones de este esquema de clasificación, con la idea de revisar y generalizar las clasificaciones de Coxeter y Dynkin bajo el paraguas de los sistemas de raíces . Intentó introducir conceptos informales de complejización y simplectificación basados ​​en analogías entre la teoría de Picard-Lefschetz , que interpreta como la versión complejizada de la teoría de Morse, y luego extenderlos a otras áreas de las matemáticas. También intentó identificar jerarquías y diccionarios entre objetos y teorías matemáticas, donde, por ejemplo, el difeomorfismo corresponde al tipo A de la clasificación de Dynkin , el difeomorfismo que preserva el volumen corresponde al tipo B y los simplectomorfismos corresponden al tipo C. En el mismo sentido, revisó analogías entre diferentes objetos matemáticos, donde, por ejemplo, el corchete de Lie en el ámbito de los difeomorfismos se vuelve análogo (e incluye al mismo tiempo como caso especial) al corchete de Poisson de los simplectomorfismos . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Arnold extendió esto aún más bajo la rúbrica de "trinidades matemáticas". ^{[ 8 ]} McKay ha extendido su correspondencia a lo largo de líneas paralelas y a veces superpuestas. Arnold denomina a estas " trinidades " para evocar la religión y sugiere que (actualmente) estos paralelismos se basan más en la fe que en la prueba rigurosa, aunque algunos paralelismos se elaboran. Otros autores han sugerido trinidades adicionales. ^{[ 9 ] [ 8 ] [ 10 ]} Las trinidades de Arnold comienzan con R / C / H (los números reales, los números complejos y los cuaterniones), que él comenta que "todo el mundo conoce", y procede a imaginar las otras trinidades como "complejaciones" y "cuaternionizaciones" de las matemáticas clásicas (reales), por analogía con la búsqueda de análogos simplécticos de la geometría riemanniana clásica , que había propuesto previamente en la década de 1970. Además de ejemplos de topología diferencial (como las clases características ), Arnold considera que las tres simetrías platónicas (tetraédrica, octaédrica e icosaédrica) corresponden a los números reales, complejos y cuaterniones, lo que luego se relaciona con las correspondencias más algebraicas de McKay, que se muestran más adelante.

Las correspondencias de McKay son más fáciles de describir. En primer lugar, los diagramas de Dynkin extendidos${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$(correspondientes a la simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica) tienen grupos de simetría${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$respectivamente, y los pliegues asociados son los diagramas${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$(nótese que en la escritura menos cuidadosa, a menudo se omite el calificador extendido (tilde)). Más significativamente, McKay sugiere una correspondencia entre los nodos de la${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$diagrama y ciertas clases de conjugación del grupo monstruo , que se conoce como la observación E ₈ de McKay ; ^{[ 11 ] [ 12 ]} véase también aguardiente monstruoso . McKay relaciona además los nodos de${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$a las clases de conjugación en 2. B (una extensión de orden 2 del grupo de monstruos bebés ), y los nodos de${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$a clases de conjugación en 3. Fi ₂₄ ' (una extensión de orden 3 del grupo de Fischer ) ^{[ 12 ]} – tenga en cuenta que estos son los tres grupos esporádicos más grandes , y que el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama.

Pasando de grupos grandes y simples a grupos pequeños, los grupos platónicos correspondientes${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$tienen conexiones con los grupos lineales especiales proyectivos PSL(2,5), PSL(2,7) y PSL(2,11) (órdenes 60, 168 y 660), ^{[ 13 ] [ 14 ]} lo que se considera una "correspondencia de McKay". ^{[ 15 ]} Estos grupos son los únicos valores (simples) para p tales que PSL(2, p ) actúa de manera no trivial sobre p puntos , un hecho que se remonta a Évariste Galois en la década de 1830. De hecho, los grupos se descomponen como productos de conjuntos (no como productos de grupos) como:${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$y${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$Estos grupos también están relacionados con diversas geometrías, que se remontan a Felix Klein en la década de 1870; véase simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para una discusión histórica y ( Kostant 1995 ) para una exposición más reciente. Las geometrías asociadas (teselados en superficies de Riemann ) en las que se puede ver la acción sobre los puntos p son las siguientes: PSL(2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0) con el compuesto de cinco tetraedros como un conjunto de 5 elementos, PSL(2,7) de la cuártica de Klein (género 3) con un plano de Fano (complementario) incrustado como un conjunto de 7 elementos (biplano de orden 2), y PSL(2,11) lasuperficie de buckminsterfullereno (género 70) conbiplano de Paleycomo un conjunto de 11 elementos (biplano). ^{[ 16 ]} De estos, el icosaedro data de la antigüedad, el cuártico de Klein de Klein en la década de 1870, y la superficie de buckybola de Pablo Martin y David Singerman en 2008.

Algebro-geométricamente, McKay también asocia E ₆ , E ₇ , E ₈ respectivamente con: las 27 líneas en una superficie cúbica , las 28 bitangentes de una curva cuártica plana y los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4. ^{[ 17 ] [ 18 ]} La primera de estas es bien conocida, mientras que la segunda está conectada de la siguiente manera: proyectar el cúbico desde cualquier punto que no esté en una línea produce una doble cubierta del plano, ramificada a lo largo de una curva cuártica, con las 27 líneas mapeándose a 27 de las 28 bitangentes, y la 28.ª línea es la imagen de la curva excepcional de la explosión. Nótese que las representaciones fundamentales de E ₆ , E ₇ , E ₈ tienen dimensiones 27, 56 (28·2) y 248 (120+128), mientras que el número de raíces es 27+45 = 72, 56+70 = 126 y 112+128 = 240. Esto también debería encajar en el esquema ^{[ 19 ]} de relacionar E _8,7,6 con los tres grupos simples esporádicos más grandes, Monster, Baby y Fischer 24', cf. monstrous moonshine .

• Superficie elíptica
• Clasificación de la teoría de catástrofes ADE

• John Baez , Descubrimientos de esta semana en física matemática : Semana 62 , Semana 63 , Semana 64 , Semana 65 , del 28 de agosto de 1995 al 3 de octubre de 1995, y Semana 230 , 4 de mayo de 2006
• La correspondencia de McKay , Tony Smith
• Clasificación ADE, correspondencia de McKay y teoría de cuerdas , Luboš Motl , The Reference Frame , 7 de mayo de 2006