singularidad de du Val

En geometría algebraica , una singularidad de Du Val , también llamada singularidad de superficie simple , singularidad kleiniana o punto doble racional , es una singularidad aislada de una superficie compleja que se modela en una cubierta doblemente ramificada del plano, con resolución mínima obtenida al reemplazar el punto singular con un árbol de curvas racionales suaves, con un patrón de intersección dual a un diagrama de Dynkin de tipo singularidad ADE . Son las singularidades canónicas (o, equivalentemente, singularidades racionales de Gorenstein) en dimensión 2. Fueron estudiadas por Patrick du Val ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} y Felix Klein .

Las singularidades de Du Val también aparecen como cocientes de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$por un subgrupo finito de SL ₂${\displaystyle (\mathbb {C} )}$; equivalentemente, un subgrupo finito de SU(2) , que se conocen como grupos poliédricos binarios . ^{[ 4 ]} Klein calculó los anillos de polinomios invariantes de estas acciones de grupo finito, y son esencialmente los anillos de coordenadas de las singularidades; este es un resultado clásico en la teoría de invariantes . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Las posibles singularidades de Du Val son (salvo isomorfismo analítico):

• ${\displaystyle A_{n}:\quad w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}$
• ${\displaystyle D_{n}:\quad w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)}$
• ${\displaystyle E_{6}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}$
• ${\displaystyle E_{7}:\quad w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}$
• ${\displaystyle E_{8}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}$

• Resolución Brieskorn-Grothendieck
• Conjetura general sobre los elefantes

• Reid, Miles , Las singularidades de Du Val A _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ (PDF)
• Burban, Igor, Du Val Singularidades (PDF)