Difeomorfismo

En matemáticas , un difeomorfismo es un isomorfismo de variedades diferenciables . Es una función invertible que transforma una variedad diferenciable en otra de tal manera que tanto la función como su inversa son continuamente diferenciables .

Dadas dos variedades diferenciables${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, un mapa continuamente diferenciable${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$es un difeomorfismo si es una biyección y su inversa${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$también es diferenciable. Si estas funciones son${\displaystyle r}$tiempos continuamente diferenciables,${\displaystyle f}$ se llama un${\displaystyle C^{r}}$-difeomorfismo.

Dos colectores${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son difeomórficos (generalmente denotados${\displaystyle M\simeq N}$) si existe un difeomorfismo${\displaystyle f}$de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$. Dos${\displaystyle C^{r}}$-variedades diferenciables son${\displaystyle C^{r}}$-difeomórfico si hay un${\displaystyle r}$veces continuamente diferenciable aplicación biyectiva entre ellos cuya inversa es también${\displaystyle r}$veces continuamente diferenciable. A${\displaystyle C^{1}}$-difeomorfismo es simplemente un difeomorfismo, y un${\displaystyle C^{0}}$-El difeomorfismo es un homeomorfismo.

Dado un subconjunto${\displaystyle X}$de un colector${\displaystyle M}$y un subconjunto${\displaystyle Y}$de un colector${\displaystyle N}$, una función${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es suave si para todos${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$Hay un vecindario${\displaystyle U\subset M}$de${\displaystyle p}$y un funcionamiento suave${\displaystyle g:U\to N}$de tal manera que las restricciones coincidan:${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$(tenga en cuenta que${\displaystyle g}$es una extensión de${\displaystyle f}$). La función${\displaystyle f}$Se dice que un difeomorfismo es biyectivo, liso y su inverso es liso.

Se puede comprobar localmente si una aplicación diferenciable es un difeomorfismo bajo algunas restricciones leves. Este es el teorema de Hadamard-Caccioppoli: ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle U}$,${\displaystyle V}$son subconjuntos abiertos conectados de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que${\displaystyle V}$simplemente está conectado , un mapa diferenciable${\displaystyle f:U\to V}$es un difeomorfismo si es propio y si el diferencial${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$es biyectiva (y por lo tanto un isomorfismo lineal ) en cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$.

Algunas observaciones:

Es esencial para${\displaystyle V}$estar simplemente conectado para la función${\displaystyle f}$ser globalmente invertible (bajo la única condición de que su derivada sea una aplicación biyectiva en cada punto). Por ejemplo, consideremos la "realización" de la función cuadrada compleja .

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Entonces${\displaystyle f}$es sobreyectiva y satisface

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Por lo tanto, aunque${\displaystyle Df_{x}}$es biyectiva en cada punto,${\displaystyle f}$no es invertible porque no es inyectivo (por ejemplo${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$).

Dado que el diferencial en un punto (para una función diferenciable)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

es una aplicación lineal , tiene una inversa bien definida si y solo si${\displaystyle Df_{x}}$es una biyección. La representación matricial de${\displaystyle Df_{x}}$es el${\displaystyle n\times n}$matriz de derivadas parciales de primer orden cuya entrada en la${\displaystyle i}$-ésima fila y${\displaystyle j}$-ésima columna es${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$Esta denominada matriz jacobiana se utiliza a menudo para cálculos explícitos.

Los difeomorfismos se dan necesariamente entre variedades de la misma dimensión . Imagina${\displaystyle f}$pasando de dimensión${\displaystyle n}$a dimensionar${\displaystyle k}$. Si${\displaystyle n<k}$entonces${\displaystyle Df_{x}}$nunca podría ser sobreyectivo, y si${\displaystyle n>k}$entonces${\displaystyle Df_{x}}$nunca podría ser inyectivo. En ambos casos, por lo tanto,${\displaystyle Df_{x}}$no es una biyección.

Si${\displaystyle Df_{x}}$es una biyección en${\displaystyle x}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que es un difeomorfismo local (ya que, por continuidad,${\displaystyle Df_{y}}$también será biyectivo para todos${\displaystyle y}$suficientemente cerca de${\displaystyle x}$).

Dado un mapa suave de dimensión${\displaystyle n}$a dimensionar${\displaystyle k}$, si${\displaystyle Df}$(o, localmente,${\displaystyle Df_{x}}$) es sobreyectiva,${\displaystyle f}$Se dice que es una inmersión (o, localmente, una "sumersión local"); y si${\displaystyle Df}$(o, localmente,${\displaystyle Df_{x}}$) es inyectivo,${\displaystyle f}$Se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local").

Una biyección diferenciable no es necesariamente un difeomorfismo.${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, por ejemplo, no es un difeomorfismo de${\displaystyle \mathbb {R} }$a sí mismo porque su derivada se anula en 0 (y por lo tanto su inversa no es diferenciable en 0). Este es un ejemplo de un homeomorfismo que no es un difeomorfismo.

Cuando${\displaystyle f}$es un mapa entre variedades diferenciables, un difeomorfo${\displaystyle f}$es una condición más fuerte que una homeomorfa${\displaystyle f}$. Para un difeomorfismo,${\displaystyle f}$y su inversa debe ser diferenciable ; para un homeomorfismo,${\displaystyle f}$y su inversa solo necesita ser continua . Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es un difeomorfismo.

${\displaystyle f:M\to N}$es un difeomorfismo si, en cartas de coordenadas , satisface la definición anterior. Más precisamente: escoja cualquier cubierta de${\displaystyle M}$mediante cartas de coordenadas compatibles y haga lo mismo para${\displaystyle N}$. Dejar${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$ser gráficos sobre, respectivamente,${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, con${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$como, respectivamente, las imágenes de${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$El mapa${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$es entonces un difeomorfismo como en la definición anterior, siempre que${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$.

Dado que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente, podemos considerar algunos mapas explícitos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

• Dejar

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

La matriz jacobiana tiene determinante cero si y solo si${\displaystyle xy=0}$Vemos que${\displaystyle f}$podría estar a solo un difeomorfismo de distancia del${\displaystyle x}$eje y el${\displaystyle y}$eje. Sin embargo,${\displaystyle f}$no es biyectivo ya que${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$y por lo tanto no puede ser un difeomorfismo.

• Dejar

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

donde el${\displaystyle a_{i,j}}$y${\displaystyle b_{i,j}}$son números reales arbitrarios , y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y . Podemos calcular la matriz jacobiana en 0 :

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Vemos que g es un difeomorfismo local en 0 si y solo si,

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

es decir, los términos lineales en las componentes de g son linealmente independientes como polinomios .

• Dejar

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Podemos calcular la matriz jacobiana:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

¡La matriz jacobiana tiene determinante cero en todas partes! De hecho, vemos que la imagen de h es el círculo unitario .

Dejar${\displaystyle M}$Sea una variedad diferenciable que sea segundo-contable y de Hausdorff . El grupo de difeomorfismos de${\displaystyle M}$es el grupo de todos${\displaystyle C^{r}}$difeomorfismos de${\displaystyle M}$a sí mismo, denotado por${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$o, cuando${\displaystyle r}$se entiende,${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$. Este es un grupo "grande", en el sentido de que, siempre que${\displaystyle M}$no es cero-dimensional; no es localmente compacto .

Dado que todo difeomorfismo es un homeomorfismo, un par de variedades difeomorfas entre sí son, en particular, homeomorfas entre sí. Lo contrario no es cierto en general.

Si bien es fácil encontrar homeomorfismos que no sean difeomorfismos, es más difícil encontrar un par de variedades homeomorfas que no sean difeomorfas. En dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades diferenciables homeomorfas son difeomorfas. En dimensión 4 o superior, existen ejemplos de pares homeomorfos pero no difeomorfos. El primer ejemplo de este tipo fue construido por John Milnor en dimensión 7. Él construyó una variedad diferenciable de 7 dimensiones (ahora llamada esfera de Milnor ) que es homeomorfa a la 7-esfera estándar pero no difeomorfa a ella. De hecho, existen 28 clases de difeomorfismos orientados de variedades homeomorfas a la 7-esfera (cada una de ellas es el espacio total de un fibrado sobre la 4-esfera con la 3-esfera como fibra).

Fenómenos más inusuales ocurren en variedades de 4 dimensiones . A principios de la década de 1980, una combinación de resultados de Simon Donaldson y Michael Freedman condujo al descubrimiento de fenómenos exóticos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$: existen incontables subconjuntos abiertos no difeomorfos por pares de${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$cada uno de los cuales es homeomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$y también existen incontables variedades diferenciables no difeomorfas por pares homeomorfas a${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$que no se incrustan suavemente en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

• Difeomorfismo de Anosov como el mapa del gato de Arnold
• Anomalía de Diffeo, también conocida como anomalía gravitacional , un tipo de anomalía en mecánica cuántica.
• Difeología , parametrizaciones suaves en un conjunto, que hacen un espacio difeológico.
• Difeomorfometría , estudio métrico de la forma y la figura en anatomía computacional.
• Morfismo étale
• Gran difeomorfismo
• difeomorfismo local
• Superdifeomorfismo

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