núcleo de Poisson

En el plano complejo , el núcleo de Poisson para el disco unitario ^{[ 1 ]} viene dado por $${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

Esto puede pensarse de dos maneras: o como una función de r y θ , o como una familia de funciones de θ indexadas por r .

Si${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$es el disco unitario abierto en C , T es el límite del disco, y f una función en T que se encuentra en L ¹ ( T ), entonces la función u dada por $${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$ es armónico en D y tiene un límite radial que coincide con f en casi todas partes en el límite T del disco.

Que el valor límite de u es f se puede argumentar usando el hecho de que cuando r → 1 , las funciones P _r ( θ ) forman una unidad aproximada en el álgebra de convolución L ¹ ( T ). Como operadores lineales, tienden a la función delta de Dirac punto por punto en L ^p ( T ). Por el principio del máximo , u es la única función armónica de este tipo en D .

Las convoluciones con esta unidad aproximada dan un ejemplo de un núcleo de sumabilidad para la serie de Fourier de una función en L ¹ ( T ) ( Katznelson 1976 ) . Sea f ∈ L ¹ ( T ) con serie de Fourier { f _k }. Después de la transformada de Fourier , la convolución con P _r ( θ ) se convierte en una multiplicación por la secuencia { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ). Tomando la transformada inversa de Fourier del producto resultante { r ^|k| f _k } se obtiene la media de Abel A _r f de f : $${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}$$

Reordenando esta serie absolutamente convergente se muestra que f es el valor límite de g + h , donde g (resp. h ) es una función holomorfa (resp. antiholomorfa ) en D.

Cuando además se exige que la extensión armónica sea holomorfa, las soluciones son elementos de un espacio de Hardy . Esto se cumple cuando los coeficientes de Fourier negativos de f se anulan. En particular, el núcleo de Poisson se utiliza habitualmente para demostrar la equivalencia de los espacios de Hardy en el disco unitario y el círculo unitario.

El espacio de funciones que son límites en T de funciones en H ^p ( z ) puede llamarse H ^p ( T ). Es un subespacio cerrado de L ^p ( T ) (al menos para p  ≥  1). Dado que L ^p ( T ) es un espacio de Banach (para 1  ≤ p ≤ ∞), también lo es H ^p ( T ).   

El disco unitario puede ser mapeado conformemente al semiplano superior mediante ciertas transformaciones de Möbius . Dado que el mapeo conforme de una función armónica también es armónico, el núcleo de Poisson se extiende al semiplano superior. En este caso, la ecuación integral de Poisson toma la forma $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

El núcleo en sí viene dado por $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

Dada una función${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$, el espacio L ^p de funciones integrables en la recta real, u puede entenderse como una extensión armónica de f en el semiplano superior. De forma análoga a la situación del disco, cuando u es holomorfa en el semiplano superior, entonces u es un elemento del espacio de Hardy,${\displaystyle H^{p},}$y en particular, $${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

Así, de nuevo, el espacio de Hardy H ^p en el semiplano superior es un espacio de Banach y, en particular, su restricción al eje real es un subespacio cerrado de${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$La situación es análoga al caso del disco unitario; la medida de Lebesgue para el círculo unitario es finita, mientras que la de la recta real no lo es.