Transformación de Abel

En matemáticas , la transformada de Abel , ^[1] llamada así por Niels Henrik Abel , es una transformada integral que se utiliza a menudo en el análisis de funciones esféricamente simétricas o axialmente simétricas. La transformada de Abel de una función f ( r ) viene dada por

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

Suponiendo que f ( r ) cae a cero más rápidamente que 1/ r , la transformada inversa de Abel está dada por

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

En el análisis de imágenes , la transformada de Abel directa se utiliza para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y axialmente simétrica sobre un plano, y la transformada de Abel inversa se utiliza para calcular la función de emisión dada una proyección (es decir, un escaneo o una fotografía) de esa función de emisión.

En la espectroscopia de absorción de llamas o columnas cilíndricas, la transformada de Abel directa es la absorbancia integrada a lo largo de un rayo con la distancia más cercana y desde el centro de la llama, mientras que la transformada de Abel inversa proporciona el coeficiente de absorción local a una distancia r desde el centro. La transformada de Abel está limitada a aplicaciones con geometrías axialmente simétricas. Para casos asimétricos más generales, se deben emplear algoritmos de reconstrucción de orientación más general, como la técnica de reconstrucción algebraica (ART), la maximización de la expectativa de máxima verosimilitud (MLEM) y los algoritmos de retroproyección filtrada (FBP).

En los últimos años, la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos en la obtención de imágenes de fotofragmentos de iones y de fotoelectrones . Entre las extensiones recientes más notables de la transformada inversa de Abel se encuentran los métodos de "pelado de cebolla" y "expansión del conjunto de bases" (BASEX) de análisis de imágenes de fotoelectrones y fotoiones.

En dos dimensiones, la transformada de Abel F ( y ) puede interpretarse como la proyección de una función simétrica circular f ( r ) a lo largo de un conjunto de líneas de visión paralelas a una distancia y del origen. Con referencia a la figura de la derecha, el observador (I) verá

${\displaystyle F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,}$

donde f ( r ) es la función circularmente simétrica representada por el color gris en la figura. Se supone que el observador está en realidad en x  = ∞, de modo que los límites de integración son ±∞, y todas las líneas de visión son paralelas al eje x . Al comprender que el radio r está relacionado con x e y como r ²  =  x ²  +  y ² , se deduce que

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}$

para x > 0. Como f ( r ) es una función par en x , podemos escribir

${\displaystyle F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},}$

lo que produce la transformada de Abel de f ( r ).

La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones superiores. De particular interés es la extensión a tres dimensiones. Si tenemos una función axialmente simétrica f ( ρ ,  z ), donde ρ ²  =  x ²  +  y ² es el radio cilíndrico, entonces podemos querer saber la proyección de esa función sobre un plano paralelo al eje z . Sin pérdida de generalidad , podemos tomar ese plano como el plano yz , de modo que

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

que es simplemente la transformada de Abel de f ( ρ ,  z ) en ρ e y .

Un tipo particular de simetría axial es la simetría esférica. En este caso, tenemos una función f ( r ), donde r ²  =  x ²  +  y ²  +  z ² . La proyección sobre, digamos, el plano yz será entonces circularmente simétrica y expresable como F ( s ), donde s ²  =  y ²  +  z ² . Realizando la integración, tenemos

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

que es nuevamente la transformada de Abel de f ( r ) en r y s .

Suponiendo que es continuamente diferenciable y , cae a cero más rápido que , podemos integrar por partes estableciendo y para encontrar ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f'}$${\estilo de visualización 1/r}$${\displaystyle u=f(r)}$${\displaystyle v'=r/{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.}$

Diferenciando formalmente ,

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

Ahora sustituya esto en la fórmula de la transformada de Abel inversa:

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi}}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

Por el teorema de Fubini , la última integral es igual a

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

Consideremos el caso donde es discontinuo en , donde cambia abruptamente su valor en una cantidad finita . Es decir, y se definen por . Tal situación se encuentra en polímeros anclados ( Cepillo de polímeros ) que exhiben una separación de fases vertical, donde representa el perfil de densidad del polímero y está relacionado con la distribución espacial de los monómeros terminales no anclados de los polímeros. ${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle y=y_{\Delta}}$${\displaystyle \Delta F}$${\displaystyle y_{\Delta}}$${\displaystyle \Delta F}$${\displaystyle \Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]}$${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle f(r)}$

La transformada de Abel de una función f ( r ) en estas circunstancias está dada nuevamente por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Suponiendo que f ( r ) cae a cero más rápidamente que 1/ r , la transformada inversa de Abel está dada por

${\displaystyle f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

donde es la función delta de Dirac y la función escalón de Heaviside . La versión extendida de la transformada de Abel para F discontinua se prueba al aplicar la transformada de Abel a F desplazada y continua , y se reduce a la transformada de Abel clásica cuando . Si tiene más de una discontinuidad, hay que introducir desplazamientos para cualquiera de ellas para obtener una versión generalizada de la transformada de Abel inversa que contiene n términos adicionales, cada uno de ellos correspondiente a una de las n discontinuidades. ${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización H(x)}$${\displaystyle F(y)}$${\displaystyle \Delta F=0}$${\displaystyle F(y)}$

La transformada de Abel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. Por ejemplo, en dos dimensiones, si definimos A como el operador de la transformada de Abel, F como el operador de la transformada de Fourier y H como el operador de la transformada de Hankel de orden cero , entonces el caso especial del teorema de proyección-segmentación para funciones circularmente simétricas establece que

${\displaystyle FA=H.}$

En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función unidimensional y luego aplicar la transformada de Fourier a ese resultado es lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto se puede extender a dimensiones superiores.

La transformada de Abel puede considerarse como la transformada de Radon de una función isótropa 2D f ( r ). Como f ( r ) es isótropa, su transformada de Radon es la misma en diferentes ángulos del eje de observación. Por lo tanto, la transformada de Abel es una función de la distancia a lo largo del eje de observación únicamente.

• Ocultación de radio GPS

• Bracewell, R. (1965). La transformada de Fourier y sus aplicaciones . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.