Teorema de proyección-corte

En matemáticas , el teorema de la proyección-corte , teorema del corte central o teorema del corte de Fourier en dos dimensiones establece que los resultados de los dos cálculos siguientes son iguales:

• Toma una función bidimensional f ( r ), proyéctala (por ejemplo, usando la transformada de Radon ) sobre una línea (unidimensional) y realiza una transformada de Fourier de esa proyección.
• Toma esa misma función, pero primero realiza una transformada de Fourier bidimensional y luego corta la función a través de su origen, paralelamente a la línea de proyección.

En términos de operador, si

• F ₁ y F ₂ son los operadores de transformada de Fourier de 1 y 2 dimensiones mencionados anteriormente,
• P ₁ es el operador de proyección (que proyecta una función 2D sobre una línea 1D),
• S ₁ es un operador de corte (que extrae un corte central unidimensional de una función),

entonces

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

Esta idea puede extenderse a dimensiones superiores.

Este teorema se utiliza, por ejemplo, en el análisis de tomografías computarizadas médicas, donde una "proyección" es una imagen de rayos X de un órgano interno. Las transformadas de Fourier de estas imágenes se consideran cortes transversales de la transformada de Fourier de la densidad tridimensional del órgano interno, y estos cortes se pueden interpolar para construir una transformada de Fourier completa de dicha densidad. Posteriormente, se utiliza la transformada inversa de Fourier para recuperar la densidad tridimensional del objeto. Esta técnica fue desarrollada por primera vez por Ronald N. Bracewell en 1956 para un problema de radioastronomía. ^{[ 1 ]}

En N dimensiones, el teorema de proyección-corte establece que la transformada de Fourier de la proyección de una función f ( r ) de N dimensiones sobre una subvariedad lineal de m dimensiones es igual a un corte de m dimensiones de la transformada de Fourier de N dimensiones de esa función, que consiste en una subvariedad lineal de m dimensiones que pasa por el origen en el espacio de Fourier y es paralela a la subvariedad de proyección. En términos de operadores:

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

Además de generalizarse a N dimensiones, el teorema de proyección-corte puede generalizarse aún más con un cambio de base arbitrario . ^{[ 2 ]} Para mayor comodidad en la notación, consideramos que el cambio de base se representa como B , una matriz invertible de N × N que opera sobre vectores columna de N dimensiones. Entonces, el teorema generalizado de corte de Fourier puede enunciarse como

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

donde es la transpuesta de la inversa de la transformación de cambio de base. ${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$

El teorema de proyección-corte se demuestra fácilmente para el caso de dos dimensiones. Sin pérdida de generalidad , podemos considerar el eje x como la línea de proyección . No hay pérdida de generalidad porque, si usamos una línea desplazada y rotada, la ley sigue siendo válida. Usar una línea desplazada (en el eje y) produce la misma proyección y, por lo tanto, los mismos resultados de la transformada de Fourier unidimensional. La función rotada es el par de Fourier de la transformada de Fourier rotada, para la cual el teorema también se cumple.

Si f ( x ,  y ) es una función bidimensional, entonces la proyección de f ( x ,  y ) sobre el eje x es p ( x ) donde

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

La transformada de Fourier de es ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

La rebanada es entonces${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

que es simplemente la transformada de Fourier de p ( x ). La demostración para dimensiones superiores se generaliza fácilmente a partir del ejemplo anterior.

Si la función bidimensional f ( r ) es circularmente simétrica, puede representarse como f ( r ), donde r  = | r |. En este caso, la proyección sobre cualquier línea de proyección será la transformada de Abel de f ( r ). La transformada de Fourier bidimensional de f ( r ) será una función circularmente simétrica dada por la transformada de Hankel de orden cero de f ( r ), que por lo tanto también representará cualquier corte que pase por el origen. El teorema de la proyección-corte establece entonces que la transformada de Fourier de la proyección es igual al corte o

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

donde A ₁ representa el operador de transformada de Abel, que proyecta una función circularmente simétrica bidimensional sobre una línea unidimensional, F ₁ representa el operador de transformada de Fourier unidimensional y H representa el operador de transformada de Hankel de orden cero.

El teorema de proyección-corte es adecuado para la reconstrucción de imágenes de TC con proyecciones de haz paralelo. No se aplica directamente a la TC de haz en abanico o de haz cónico. El teorema fue extendido a la reconstrucción de imágenes de TC de haz en abanico y de haz cónico por Shuang-ren Zhao en 1995. ^{[ 3 ]}

• Transformada de Radon § Relación con la transformada de Fourier

• Bracewell, Ronald N. ( 1990). "Transformaciones numéricas". Science . 248 (4956): 697– 704. Bibcode : 1990Sci...248..697B . doi : 10.1126/science.248.4956.697 . PMID  17812072. S2CID  5643835 .
• Bracewell, Ronald N. (1956). "Integración de franjas en radioastronomía" . Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode : 1956AuJPh...9..198B . ​​doi : 10.1071/PH560198 .
• Gaskill, Jack D. (2005). Sistemas lineales, transformadas de Fourier y óptica . John Wiley & Sons, Nueva York. ISBN 978-0-471-29288-3.
• Ng, Ren (2005). "Fotografía de cortes de Fourier" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735– 744. doi : 10.1145/1073204.1073256 .
• Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995). "Reconstrucción de proyecciones de haz cónico con trayectoria de fuente libre mediante un método de Fourier generalizado". Actas de la Reunión Internacional de 1995 sobre Reconstrucción de Imágenes Totalmente Tridimensionales en Radiología y Medicina Nuclear : 323–7 .
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). "El teorema de la proyección-corte: una notación compacta". Journal of the Optical Society of America A. 28 ( 5): 766– 769. Bibcode : 2011JOSAA..28..766G . doi : 10.1364/JOSAA.28.000766 . PMID  21532686 .

• Teorema de la sección de Fourier (vídeo). Parte del curso "Tomografía computarizada y la caja de herramientas ASTRA". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.