Transformación de Hankel

En matemáticas , la transformada de Hankel _expresa cualquier función dada f ( r ) como la suma ponderada de un número infinito de funciones de Bessel de primera especie Jν ( kr ) . Las funciones _de Bessel en la suma son todas del mismo orden ν, pero difieren en un factor de escala k a lo largo del eje r . El coeficiente necesario Fν de cada función de Bessel en la suma, como función del factor de escala k, constituye la función transformada. La transformada de Hankel es una transformada integral y fue desarrollada por primera vez por el matemático Hermann Hankel . También se la conoce como transformada de Fourier-Bessel . Así como la transformada de Fourier para un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier sobre un intervalo finito, la transformada de Hankel sobre un intervalo infinito está relacionada con la serie de Fourier-Bessel sobre un intervalo finito.

La transformada de Hankel de orden ${\displaystyle \nu }$La función f ( r ) viene dada por

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

dónde${\displaystyle J_{\nu }}$es la función de Bessel de primera especie de orden${\displaystyle \nu }$con${\displaystyle \nu \geq -1/2}$. La transformada inversa de Hankel de F _ν ( k ) se define como

${\displaystyle f(r)=\int _ {0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

lo cual puede verificarse fácilmente utilizando la relación de ortogonalidad que se describe a continuación.

La transformada de Hankel se puede utilizar para transformar y resolver la ecuación de Laplace expresada en coordenadas cilíndricas . Bajo la transformada de Hankel, el operador de Bessel se convierte en una multiplicación por${\displaystyle -k^{2}}$. ^{[ 2 ]} En el caso axisimétrico, la ecuación diferencial parcial se transforma como

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

dónde${\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u}$Por lo tanto, el laplaciano en coordenadas cilíndricas se convierte en una ecuación diferencial ordinaria en la función transformada.${\displaystyle U}$.

Las funciones de Bessel forman una base ortogonal con respecto al factor de ponderación r : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (kk')}{k}},\quad k,k'>0.}$

Si f ( r ) y g ( r ) son tales que sus transformadas de Hankel F _ν ( k ) y G _ν ( k ) están bien definidas, entonces el teorema de Plancherel establece

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

El teorema de Parseval , que establece

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

es un caso especial del teorema de Plancherel. Estos teoremas se pueden demostrar utilizando la propiedad de ortogonalidad.

La transformada de Hankel aparece cuando se escribe la transformada de Fourier multidimensional en coordenadas hiperesféricas , razón por la cual la transformada de Hankel suele aparecer en problemas físicos con simetría cilíndrica o esférica.

Consideremos una función${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$de un${\textstyle d}$vector r de dimensión . Su${\textstyle d}$La transformada de Fourier de -dimensiones se define como$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$Para reescribirlo en coordenadas hiperesféricas, podemos usar la descomposición de una onda plana en${\textstyle d}$armónicos hiperesféricos -dimensionales${\displaystyle Y_{l,m}}$: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$$dónde${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$y${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$son los conjuntos de todos los ángulos hiperesféricos en el${\displaystyle \mathbf {r} }$-espacio y${\displaystyle \mathbf {k} }$-espacio. Esto da la siguiente expresión para el${\textstyle d}$Transformada de Fourier dimensional en coordenadas hiperesféricas:$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$$Si ampliamos${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$y${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$en armónicos hiperesféricos:$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$$La transformada de Fourier en coordenadas hiperesféricas se simplifica a$${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$Esto significa que las funciones con dependencia angular en forma de armónico hiperesférico la conservan tras la transformada de Fourier multidimensional, mientras que la parte radial sufre la transformada de Hankel (salvo algunos factores adicionales como${\textstyle r^{d/2-1}}$).

La transformada de Hankel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. En dos dimensiones, si definimos A como el operador de transformada de Abel , F como el operador de transformada de Fourier y H como el operador de transformada de Hankel de orden cero, entonces el caso especial del teorema de proyección-corte para funciones circularmente simétricas establece que

${\displaystyle FA=H.}$

En otras palabras, aplicar la transformada de Abel a una función unidimensional y luego la transformada de Fourier al resultado es equivalente a aplicar la transformada de Hankel a esa misma función. Este concepto puede extenderse a dimensiones superiores.

Un enfoque simple y eficiente para la evaluación numérica de la transformada de Hankel se basa en la observación de que se puede expresar en forma de convolución mediante un cambio logarítmico de variables ^{[ 8 ].}$${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.}$$ En estas nuevas variables, la transformada de Hankel se lee: $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,}$$ dónde $${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),}$$$${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),}$$$${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$$

Ahora la integral se puede calcular numéricamente con${\textstyle O(N\log N)}$complejidad utilizando la transformada rápida de Fourier . El algoritmo se puede simplificar aún más utilizando una expresión analítica conocida para la transformada de Fourier de${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }}$: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$ La elección óptima de parámetros${\displaystyle r_{0},k_{0},n}$depende de las propiedades de${\displaystyle f(r),}$en particular su comportamiento asintótico en${\displaystyle r\to 0}$y${\displaystyle r\to \infty .}$

Este algoritmo se conoce como la "transformada de Hankel cuasi-rápida" o, simplemente, "transformada de Hankel rápida".

Dado que se basa en la transformada rápida de Fourier en variables logarítmicas,${\displaystyle f(r)}$debe definirse en una cuadrícula logarítmica. Para funciones definidas en una cuadrícula uniforme, existen otros algoritmos, incluyendo la cuadratura directa , métodos basados ​​en el teorema de proyección-corte y métodos que utilizan la expansión asintótica de funciones de Bessel. ^{[ 10 ]}

^{[ 11 ]}

K _n ( z ) es una función de Bessel modificada de segundo tipo . K ( z ) es la integral elíptica completa de primer tipo .

La expresión

${\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

coincide con la expresión del operador de Laplace _en coordenadas polares ( k , θ ) aplicada a una función esféricamente simétrica F0 ( k ).

La transformada de Hankel de los polinomios de Zernike son esencialmente funciones de Bessel (Noll 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

para n − m par ≥ 0 .

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