Espacio vectorial conveniente

En matemáticas, los espacios vectoriales convenientes son espacios vectoriales localmente convexos que satisfacen una condición de completitud muy leve .

El cálculo diferencial tradicional es eficaz en el análisis de espacios vectoriales de dimensión finita y para espacios de Banach . Más allá de los espacios de Banach, comienzan a surgir dificultades; en particular, la composición de aplicaciones lineales continuas deja de ser conjuntamente continua a nivel de espacios de Banach, ^{[ Nota 1 ]} para cualquier topología compatible en los espacios de aplicaciones lineales continuas.

Las asignaciones entre espacios vectoriales convenientes son suaves o $C^{\infty }$ si mapean curvas suaves a curvas suaves. Esto conduce a una categoría cartesiana cerrada de mapeos suaves entre $c^{\infty }$ - subconjuntos abiertos de espacios vectoriales convenientes (véase la propiedad 6 a continuación). El cálculo correspondiente de aplicaciones suaves se denomina cálculo conveniente . Es más débil que cualquier otra noción razonable de diferenciabilidad, es fácil de aplicar, pero existen aplicaciones suaves que no son continuas (véase la Nota 1). Este tipo de cálculo por sí solo no es útil para resolver ecuaciones ^{[ Nota 2 ]} .

La topología c ^∞

Dejar $E$ Sea un espacio vectorial localmente convexo . Una curva $c:\mathbb {R} \to E$ se llama suave o $C^{\infty }$ Si todas las derivadas existen y son continuas. Sea $C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ Sea el espacio de curvas suaves. Se puede demostrar que el conjunto de curvas suaves no depende completamente de la topología localmente convexa de $E,$ solamente en su bornología asociada (sistema de conjuntos acotados); véase [KM], 2.11. Las topologías finales con respecto a los siguientes conjuntos de mapeos en $E$ coinciden; véase [KM], 2.13.

$C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).$
El conjunto de todas las curvas de Lipschitz (de modo que $\left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{ts}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}$ está delimitado en $E,$ para cada $C$ ).
El conjunto de inyecciones $E_{B}\to E$ dónde $B$ recorre todos los subconjuntos absolutamente convexos acotados en $E,$ y dónde $E_{B}$ es el intervalo lineal de $B$ equipado con el Minkowski funcional $\|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.$
El conjunto de todas las secuencias convergentes de Mackey $x_{n}\to x$ (existe una secuencia) $0<\lambda _ {n}\to \infty$ con $\lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)$ encerrado).

Esta topología se llama $c^{\infty }$ - topología en $E$ y escribimos $c^{\infty }E$ para el espacio topológico resultante. En general (en el espacio $D$ de funciones suaves con soporte compacto en la recta real, por ejemplo) es más fina que la topología localmente convexa dada, no es una topología de espacio vectorial, ya que la suma ya no es conjuntamente continua. Es decir, incluso $c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).$ La mejor entre todas las topologías localmente convexas en $E$ que son más gruesos que $c^{\infty }E$ es la bornologización de la topología localmente convexa dada. Si $E$ es un espacio Fréchet , entonces $c^{\infty }E=E.$

Espacios vectoriales convenientes

Un espacio vectorial localmente convexo $E$ Se dice que es un espacio vectorial conveniente si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (llamado $c^{\infty }$ -completitud); véase [KM], 2.14.

Para cualquier $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ la integral (de Riemann) $\int _{0}^{1}c(t)\,dt$ existe en $E$ .
Cualquier curva de Lipschitz en $E$ es localmente integrable según Riemann.
Cualquier escalar $C^{\infty }$ $C^{\infty }$ La curva es $C^{\infty }$ $C^{\infty }$ : Una curva $c:\mathbb {R} \to E$ $c:\mathbb {R} \to E$ es suave si y solo si la composición $\lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))$ $\lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))$ está en $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ a pesar de $\lambda \en E^{*}$ $\lambda \en E^{*}$ dónde $E^{*}$ $E^{*}$ es el dual de todos los funcionales lineales continuos en $E$ $E$ .
- De forma equivalente, para todos $\lambda \en E'$ , el dual de todos los funcionales lineales acotados.
- De forma equivalente, para todos $\lambda \in V$ , dónde $V$ es un subconjunto de $E'$ que reconoce subconjuntos acotados en $E$ ; véase [KM], 5.22.
Cualquier secuencia de Mackey-Cauchy (es decir, $x_{n}$ de tal manera que $t_{nm}(x_{n}-x_{m})\to 0$ para algunos $t_{nm}\to \infty$ en $\mathbb {R}$ ) converge en $E$ Esto es visiblemente un requisito de exhaustividad leve.
Si $B$ es acotada, cerrada y absolutamente convexa, entonces $E_{B}$ es un espacio Banach.
Si $f:\mathbb {R} \to E$ es escalar ${\text{Lip}}^{k}$ , entonces $f$ es ${\text{Lip}}^{k}$ , para $k>1$ .
Si $f:\mathbb {R} \to E$ es escalar $C^{\infty }$ entonces $f$ es diferenciable en $0$ .

Aquí hay un mapa $f:\mathbb {R} \to E$ se llama ${\text{Lip}}^{k}$ si todos los derivados hasta el orden $k$ existen y son Lipschitz, localmente en $\mathbb {R}$ .

Mapeos suaves

Dejar $E$ y $F$ sean espacios vectoriales convenientes, y deje que $U\subseteq E$ ser $c^{\infty }$ -abierto. Un mapeo $f:U\to F$ se llama suave o $C^{\infty }$ , si la composición $f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)$ a pesar de $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)$ . Véase [KM], 3.11.

Propiedades principales del cálculo suave

1. Para las aplicaciones en espacios de Fréchet, esta noción de suavidad coincide con todas las demás definiciones razonables. En $\mathbb {R} ^{2}$ Este es un teorema no trivial, demostrado por Boman en 1967. Véase también [KM], 3.4.

2. Las aplicaciones multilineales son suaves si y solo si están acotadas ([KM], 5.5).

3. Si $f:E\supseteq U\to F$ es suave entonces la derivada $df:U\times E\to F$ es suave y también $df:U\to L(E,F)$ es suave donde $L(E,F)$ denota el espacio de todas las aplicaciones lineales acotadas con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados; véase [KM], 3.18.

4. Se cumple la regla de la cadena ([KM], 3.18).

5. El espacio $C^{\infty }(U,F)$ de todos los mapeos suaves $U\to F$ es nuevamente un espacio vectorial conveniente donde la estructura viene dada por la siguiente inyección, donde $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ lleva la topología de convergencia compacta en cada derivada por separado; véase [KM], 3.11 y 3.7.

C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.

6. Se cumple la ley exponencial ([KM], 3.12): Para $c^{\infty }$ -abierto $V\subseteq F$ La siguiente aplicación es un difeomorfismo lineal de espacios vectoriales convenientes.

C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).

Este es el supuesto principal del cálculo variacional. Aquí se presenta como un teorema. Esta propiedad es el origen del nombre conveniente , que fue tomado de (Steenrod 1967).

7. Teorema de acotación uniforme y suave ([KM], teorema 5.26). Una aplicación lineal $f:E\to C^{\infty }(V,G)$ es suave (por (2) equivalente a acotado) si y solo si $\operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G$ es suave para cada uno $v\in V$ .

8. Las siguientes aplicaciones canónicas son suaves. Esto se deduce de la ley exponencial mediante razonamientos categóricos sencillos, véase [KM], 3.13.

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod

Cálculos convenientes relacionados

El cálculo conveniente de aplicaciones suaves apareció por primera vez en [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]. El cálculo conveniente (que posee las propiedades 6 y 7) también existe para:

Aplicaciones analíticas reales (Kriegl, Michor, 1990; véase también [KM], capítulo II).
Mapeos holomorfos (Kriegl, Nel, 1985; véase también [KM], capítulo II). La noción de holomorfía es la de [Fantappié, 1930-33].
Muchas clases de funciones ultradiferenciables de Denjoy-Carleman, tanto de tipo Beurling como de tipo Roumieu [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
Con algunas adaptaciones, $\operatorname {Lip} ^{k}$ , [FK].
Con más adaptaciones, incluso $C^{k,\alpha }$ (es decir, el $k$ La derivada -ésima es Hölder-continua con índice $\alpha$ ) ([Faure, 1989], [Faure, These Geneve, 1991]).

La noción correspondiente de espacio vectorial conveniente es la misma (para su espacio vectorial real subyacente en el caso complejo) para todas estas teorías.

Aplicación: Variedades de aplicaciones entre variedades de dimensión finita

La ley exponencial 6 del cálculo conveniente permite demostraciones muy simples de los hechos básicos sobre variedades de aplicaciones. Sea $M$ y $N$ sean variedades suaves de dimensión finita donde $M$ es compacto . Utilizamos una métrica de Riemann auxiliar. ${\bar {g}}$ en $N$ . El mapeo exponencial riemanniano de ${\bar {g}}$ Se describe en el siguiente diagrama:

Induce un atlas de cartas sobre el espacio $C^{\infty }(M,N)$ de todos los mapeos suaves $M\to N$ de la siguiente manera. Un gráfico centrado en $f\in C^{\infty }(M,N)$ , es:

u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),

u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),

(u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).

Ahora los hechos básicos se entienden fácilmente. Simplificando el haz vectorial de retroceso $f^{*}TN$ y aplicando la ley exponencial 6 se llega al difeomorfismo

C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).

Todos los mapeos de cambio de gráficos son suaves ( $C^{\infty }$ ) ya que mapean curvas suaves a curvas suaves:

{\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).

De este modo $C^{\infty }(M,N)$ es una variedad diferenciable modelada en espacios de Fréchet. El espacio de todas las curvas diferenciables en esta variedad viene dado por

C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).

Dado que mapea visiblemente curvas suaves a curvas suaves, la composición

C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,

es suave. Como consecuencia de la estructura del gráfico, el fibrado tangente de la variedad de aplicaciones viene dado por

\pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).

Grupos regulares de mentiras

Dejar $G$ ser un grupo de Lie suave y conexo modelado en espacios vectoriales convenientes, con álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ La multiplicación y la inversión se denotan por:

\mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.

La noción de un grupo de Lie regular se debe originalmente a Omori et al. para los grupos de Lie de Fréchet, fue debilitada y hecha más transparente por J. Milnor, y luego se llevó a los grupos de Lie convenientes; véase [KM], 38.4.

Un grupo de mentiras $G$ Se considera regular si se cumplen las dos condiciones siguientes:

Para cada curva suave $X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})$ En el álgebra de Lie existe una curva suave. $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)$ en el grupo de Lie cuya derivada logarítmica derecha es $X$ Resulta que $g$ está determinado de forma única por su valor inicial. $g(0)$ , si existe. Es decir,

g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).

Si $g$ es la solución única para la curva $X$ Como se requirió anteriormente, denotamos

\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).

Se requiere que el siguiente mapeo sea fluido:

\operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.

Si $X$ es una curva constante en el álgebra de Lie, entonces $\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)$ es el mapeo exponencial de grupo.

Teorema. Para cada variedad compacta $M$ , el grupo de difeomorfismos $\operatorname {Diff} (M)$ es un grupo de Lie regular. Su álgebra de Lie es el espacio ${\mathfrak {X}}(M)$ de todos los campos vectoriales suaves en $M$ , con el negativo del paréntesis usual como paréntesis de Lie.

Prueba: El grupo de difeomorfismos $\operatorname {Diff} (M)$ es una variedad suave ya que es un subconjunto abierto en $C^{\infty }(M,M)$ . La composición es suave por restricción. La inversión es suave: Si $t\to f(t,\ )$ es una curva suave en $\operatorname {Diff} (M)$ , entonces $f (t, ) -1$ $f(t,\ )^{-1}(x)$ satisface la ecuación implícita $f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x$ , por lo tanto, según el teorema de la función implícita de dimensión finita, $(t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)$ es suave. Por lo tanto, la inversión mapea curvas suaves a curvas suaves, y por lo tanto la inversión es suave. Sea $X(t,x)$ ser un campo vectorial dependiente del tiempo en $M$ (en $C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))$ ). Luego, el operador de flujo $\operatorname {Fl}$ del campo vectorial autónomo correspondiente $\partial _{t}\times X$ en $\mathbb {R} \times M$ induce el operador de evolución a través de

\operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))

que satisface la ecuación diferencial ordinaria

\partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).

Dada una curva suave en el álgebra de Lie, $X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))$ Entonces, la solución de la ecuación diferencial ordinaria depende suavemente también de la variable adicional. $s$ , de este modo $\operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}$ mapea curvas suaves de campos vectoriales dependientes del tiempo a curvas suaves de difeomorfismo. QED.

El conjunto principal de incrustaciones

Para variedades de dimensión finita $M$ y $N$ con $M$ compacto, el espacio $\operatorname {Emb} (M,N)$ de todas las incrustaciones suaves de $M$ en $N$ , está abierto en $C^{\infty }(M,N)$ , por lo tanto es una variedad diferenciable. El grupo de difeomorfismos $\operatorname {Diff} (M)$ actúa libre y suavemente desde la derecha en $\operatorname {Emb} (M,N)$ .

Teorema: $\operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)$ es un haz de fibras principal con grupo de estructura $\operatorname {Diff} (M)$ .

Demostración: Se utiliza nuevamente una métrica riemanniana auxiliar. ${\bar {g}}$ en $N$ . Dado $f\in \operatorname {Emb} (M,N)$ , vista $f(M)$ como una subvariedad de $N$ y dividir la restricción del fibrado tangente $TN$ a $f(M)$ en el subpaquete normal a $f(M)$ y tangencial a $f(M)$ como $TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)$ Elige un barrio tubular

p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).

Si $g:M\to N$ es $C^{1}$ -cerca de $f$ , entonces

\phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).

Esta es la división local requerida. QED

Otras aplicaciones

En [Bauer, Bruveris, Michor, 2014] se puede encontrar una descripción general de las aplicaciones que utilizan la geometría de los espacios de formas y los grupos de difeomorfismos.

Notas

↑ Un ejemplo de mapeo de composición es el mapeo de evaluación. ${\text{ev}}:E\times E^{*}\to \mathbb {R}$ , dónde $E$ es un espacio vectorial localmente convexo , y donde $E^{*}$ es su dual de funcionales lineales continuos equipados con cualquier topología localmente convexa tal que el mapeo de evaluación sea continua por separado. Si se supone que la evaluación es continua conjuntamente, entonces hay vecindades $U\subseteq E$ y $V\subseteq E^{*}$ de cero tal que ${\text{ev}}(U\times V)\subseteq [0,1]$ Sin embargo, esto significa que $U$ está contenido en el polar del conjunto abierto $V$ ; por lo tanto, está delimitado en $E$ . De este modo $E$ admite un entorno acotado de cero y, por lo tanto, es un espacio vectorial normado .
↑ Para que sea útil para resolver ecuaciones como las EDP no lineales, el cálculo conveniente debe complementarse con, por ejemplo, estimaciones a priori que ayuden a crear una situación de espacio de Banach suficiente para permitir la convergencia de algún procedimiento iterativo; por ejemplo, véase el teorema de Nash-Moser , descrito en términos de cálculo conveniente en [KM], sección 51.

Referencias

Bauer, M., Bruveris, M., Michor, PW: Panorama general de las geometrías de los espacios de formas y los grupos de difeomorfismos. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv:1305.11500)
Boman, J.: Diferenciabilidad de una función y de su composición con una función de una variable, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
Faure, C.-A.: Sur un théorème de Boman, CR Acad. Sci., París}, vol. 309 (1989), 1003–1006.
Faure, C.-A.: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables, These, Université de Genève, 1991.
Frölicher, A.: Applications lisses entre espaces et variétés de Fréchet, CR Acad. Ciencia. París, vol. 293 (1981), 125-127.
[FK] Frölicher, A., Kriegl, A.: Espacios lineales y teoría de la diferenciación. Matemáticas puras y aplicadas, J. Wiley, Chichester, 1988.
Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109–124.
Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287–309.
[KM] Kriegl, A., Michor, PW: El entorno conveniente del análisis global. Mathematical Surveys and Monographs, Volumen: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)
Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El entorno conveniente para las aplicaciones diferenciables de Denjoy-Carleman no cuasianalíticas, Journal of Functional Analysis, vol. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv:0804.2995)
Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El entorno conveniente para las aplicaciones diferenciables de Denjoy-Carleman cuasianalíticas, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv:0909.5632)
Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: El marco conveniente para las aplicaciones diferenciables de Denjoy-Carleman de tipo Beurling y Roumieu. Revista Matemática Complutense (2015). doi:10.1007/s13163-014-0167-1. (arXiv:1111.1819)
Michor, PW: Variedades de aplicaciones y formas. (arXiv:1505.02359)
Steenrod, NE: Una categoría conveniente para espacios topológicos, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133–152.

[1] Un ejemplo de mapeo de composición es el mapeo de evaluación. ${\text{ev}}:E\times E^{*}\to \mathbb {R}$ , dónde $E$ es un espacio vectorial localmente convexo , y donde $E^{*}$ es su dual de funcionales lineales continuos equipados con cualquier topología localmente convexa tal que el mapeo de evaluación sea continua por separado. Si se supone que la evaluación es continua conjuntamente, entonces hay vecindades $U\subseteq E$ y $V\subseteq E^{*}$ de cero tal que ${\text{ev}}(U\times V)\subseteq [0,1]$ Sin embargo, esto significa que $U$ está contenido en el polar del conjunto abierto $V$ ; por lo tanto, está delimitado en $E$ . De este modo $E$ admite un entorno acotado de cero y, por lo tanto, es un espacio vectorial normado .

[2] Para que sea útil para resolver ecuaciones como las EDP no lineales, el cálculo conveniente debe complementarse con, por ejemplo, estimaciones a priori que ayuden a crear una situación de espacio de Banach suficiente para permitir la convergencia de algún procedimiento iterativo; por ejemplo, véase el teorema de Nash-Moser , descrito en términos de cálculo conveniente en [KM], sección 51.

[ Nota 1 ]

[ Nota 2 ]

La topología c ∞