El truco de Alejandro

El truco de Alexander , también conocido como truco de Alexander , es un resultado básico en topología geométrica , llamado así en honor a J. W. Alexander .

Dos homeomorfismos de la bola n - dimensional que concuerdan en la esfera límite son isotópicos . $Estilo de visualización D^{n}}$ $Estilo de visualización S^{n-1}}$

De manera más general, dos homeomorfismos de que son isotópicos en el límite son isotópicos. $Estilo de visualización D^{n}}$

Caso base : todo homeomorfismo que fija el límite es isotópico a la identidad relativa al límite.

Si satisface , entonces una isotopía que conecta f con la identidad está dada por ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$${\displaystyle f(x)=x{\text{ para todos }}x\en S^{n-1}}$

${\displaystyle J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{si }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{si }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}}$

Visualmente, el homeomorfismo se "endereza" desde el límite, "apretándose" hasta el origen. William Thurston llama a esto "peinar todos los enredos hacia un punto". En el artículo original de dos páginas, JW Alexander explica que para cada transformación se replica a una escala diferente, en el disco de radio , por lo que es razonable esperar que se fusione con la identidad. ${\estilo de visualización f}$${\displaystyle t>0}$$Estilo de visualización J_ {t}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle t\rightarrow 0}$$Estilo de visualización J_ {t}}$

La sutileza es que en , "desaparece": el germen en el origen "salta" de una versión infinitamente estirada de a la identidad. Cada uno de los pasos en la homotopía podría suavizarse (suavizar la transición), pero la homotopía (la función general) tiene una singularidad en . Esto subraya que el truco de Alexander es una construcción PL , pero no suave.${\estilo de visualización t=0}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle (x,t)=(0,0)}$

Caso general : isotópico en el límite implica isotópico

Si son dos homeomorfismos que concuerdan en , entonces la identidad está en , por lo que tenemos una isotopía de la identidad a . La función es entonces una isotopía de a . ${\displaystyle f,g\colon D^{n}\to D^{n}}$$Estilo de visualización S^{n-1}}$$estilo de visualización g-1 f$$Estilo de visualización S^{n-1}}$${\estilo de visualización J}$$estilo de visualización g-1 f$${\estilo de visualización gJ}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$

Algunos autores utilizan el término truco de Alexander para afirmar que todo homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de toda la bola . $Estilo de visualización S^{n-1}}$$Estilo de visualización D^{n}}$

Sin embargo, esto es mucho más fácil de demostrar que el resultado analizado anteriormente: se llama extensión radial (o conificación) y también es cierto de manera lineal por partes , pero no de manera uniforme.

Concretamente, sea un homeomorfismo, entonces ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ con }}F(rx)=rf(x){\text{ para todos }}r\in [0,1]{\text{ y }}x\in S^{n-1}}$define un homeomorfismo de la pelota.

El fracaso de la extensión radial suave y el éxito de la extensión radial PL producen esferas exóticas a través de esferas retorcidas .

• Construcción de embrague

• Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). Trenzas y recubrimientos: temas seleccionados . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 18. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511613098. ISBN . 0-521-38757-4.Señor 1247697  .
• Alexander, JW (1923). "Sobre la deformación de una célula n". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 9 (12): 406– 407. Bibcode :1923PNAS....9..406A. doi : 10.1073/pnas.9.12.406 . PMC  1085470 . PMID  16586918.