Polinomio homogéneo

En matemáticas , un polinomio homogéneo , a veces llamado cuántico en textos antiguos, es un polinomio cuyos términos no nulos tienen todos el mismo grado . ^{[ 1 ]} Por ejemplo,${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes en cada término es siempre 5. El polinomio${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$no es homogéneo, porque la suma de los exponentes no coincide de un término a otro. La función definida por un polinomio homogéneo es siempre una función homogénea .

Una forma algebraica , o simplemente forma , es una función definida por un polinomio homogéneo. ^{[ notas 1 ]} Una forma binaria es una forma en dos variables. Una forma también es una función definida en un espacio vectorial , que puede expresarse como una función homogénea de las coordenadas sobre cualquier base .

Un polinomio de grado 0 siempre es homogéneo; es simplemente un elemento del cuerpo o anillo de los coeficientes, generalmente llamado constante o escalar. Una forma de grado 1 es una forma lineal . ^{[ notas 2 ]} Una forma de grado 2 es una forma cuadrática . En geometría , la distancia euclidiana es la raíz cuadrada de una forma cuadrática.

Los polinomios homogéneos son omnipresentes en matemáticas y física. ^{[ notas 3 ]} Juegan un papel fundamental en la geometría algebraica , ya que una variedad algebraica proyectiva se define como el conjunto de los ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos.

Un polinomio homogéneo define una función homogénea . Esto significa que, si un polinomio multivariable P es homogéneo de grado d , entonces

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

por cada${\displaystyle \lambda }$en cualquier campo que contenga los coeficientes de P. Recíprocamente, si la relación anterior es verdadera para un número infinito de ${\displaystyle \lambda }$entonces el polinomio es homogéneo de grado d .

En particular, si P es homogéneo entonces

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

por cada${\displaystyle \lambda .}$Esta propiedad es fundamental en la definición de una variedad proyectiva .

Cualquier polinomio distinto de cero puede descomponerse, de forma única, como una suma de polinomios homogéneos de diferentes grados, que se denominan componentes homogéneas del polinomio.

Dado un anillo de polinomios${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$Sobre un cuerpo (o, más generalmente, un anillo ) K , los polinomios homogéneos de grado d forman un espacio vectorial (o un módulo ), comúnmente denotado${\displaystyle R_{d}.}$La descomposición única anterior significa que${\displaystyle R}$es la suma directa de la${\displaystyle R_{d}}$(suma sobre todos los enteros no negativos ).

La dimensión del espacio vectorial (o módulo libre )${\displaystyle R_{d}}$es el número de monomios diferentes de grado d en n variables (es decir, el número máximo de términos no nulos en un polinomio homogéneo de grado d en n variables). Es igual al coeficiente binomial.

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Los polinomios homogéneos satisfacen la identidad de Euler para funciones homogéneas . Es decir, si P es un polinomio homogéneo de grado d en las indeterminadas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$uno tiene, cualquiera que sea el anillo conmutativo de los coeficientes,

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

dónde${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$denota la derivada parcial formal de P con respecto a${\displaystyle x_{i}.}$

Un polinomio no homogéneo P ( x ₁ ,..., x _n ) puede homogeneizarse introduciendo una variable adicional x ₀ y definiendo el polinomio homogéneo que a veces se denota ^h P : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

donde d es el grado de P. Por ejemplo, si

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

entonces

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Un polinomio homogeneizado puede deshomogeneizarse estableciendo la variable adicional x ₀ = 1. Es decir,

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

• Polinomio multihomogéneo
• Polinomio cuasi-homogéneo
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• Álgebra graduada
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• Polarización de una forma algebraica
• polinomio de Schur
• Símbolo de un operador diferencial

• Contenido multimedia relacionado con polinomios homogéneos en Wikimedia Commons.
• Weisstein, Eric W. "Polinomio homogéneo" . MathWorld .