Forma diagonal

En matemáticas , una forma diagonal es una forma algebraica ( polinomio homogéneo ) sin términos cruzados que involucren indeterminadas diferentes . Es decir, es de la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

por algún grado m .

Estas formas F , y las hipersuperficies F = 0 que definen en el espacio proyectivo , son muy especiales en términos geométricos, con muchas simetrías. También incluyen casos famosos como las curvas de Fermat y otros ejemplos bien conocidos en la teoría de ecuaciones diofánticas .

Se ha avanzado mucho en su teoría: geometría algebraica , funciones zeta locales mediante sumas de Jacobi , método del círculo de Hardy-Littlewood .

Sobre un cuerpo de característica distinta de 2, cualquier polinomio homogéneo de grado 2 ( forma cuadrática ) puede transformarse en una forma diagonal mediante sustitución de variables. ^{[ 1 ]} Los polinomios homogéneos de grado superior pueden diagonalizarse si y solo si su catalecticante es distinto de cero.

El proceso es particularmente sencillo para las formas cuadráticas, ya que se basa en los valores propios de la matriz simétrica que representa la forma cuadrática.

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$¿Es el círculo unitario en P ^2?

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$es la hipérbola unitaria en P ² .

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$da la superficie cúbica de Fermat en P ³ con 27 líneas. Las 27 líneas en este ejemplo son fáciles de describir explícitamente: son las 9 líneas de la forma ( x  : ax  : y  : by ) donde a y b son números fijos con cubo − 1, y sus 18 conjugados bajo permutaciones de coordenadas.

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$da una superficie K3 en P ³ .