Proceso Ω de Cayley

En matemáticas, el proceso Ω de Cayley , introducido por Arthur Cayley  (1846), es un operador diferencial relativamente invariante en el grupo lineal general , que se utiliza para construir invariantes de una acción de grupo .

Como operador diferencial parcial que actúa sobre funciones de n ² variables x _ij , el operador omega viene dado por el determinante

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\parcial }{\parcial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\parcial }{\parcial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\parcial }{\parcial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\parcial }{\parcial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

Para las formas binarias f en x ₁ , y ₁ y g en x ₂ , y ₂ el operador Ω es . El proceso Ω de r pliegues Ω ^r ( f , g ) en dos formas f y g en las variables x e y es entonces ${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}fg}{\parcial x_{1}\parcial y_{2}}}-{\frac {\parcial ^{2}fg}{\parcial x_{2}\parcial y_{1}}}}$

1. Convierte f a una forma en x ₁ , y ₁ y g a una forma en x ₂ , y ₂
2. Aplicar el operador Ω r veces a la función fg , es decir, f por g en estas cuatro variables
3. Sustituya x por x ₁ y x ₂ , y por y ₁ e y ₂ en el resultado.

El resultado del proceso Ω de pliegue r Ω ^r ( f , g ) en las dos formas f y g también se denomina r -ésimo transvectante y comúnmente se escribe ( f , g ) ^r .

El proceso Ω de Cayley aparece en la identidad de Capelli , que Weyl (1946) utilizó para encontrar generadores para los invariantes de varios grupos clásicos que actúan sobre álgebras polinomiales naturales.

Hilbert (1890) utilizó el proceso Ω de Cayley en su demostración de la generación finita de anillos de invariantes del grupo lineal general. Su uso del proceso Ω proporciona una fórmula explícita para el operador de Reynolds del grupo lineal especial.

El proceso Ω de Cayley se utiliza para definir transvectantes .

• Cayley, Arthur (1846), "Sobre transformaciones lineales", Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 1 : 104–122Reimpreso en Cayley (1889), The collected mathematics papers , vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press, págs. 95-112
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi :10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831, S2CID  179177713
• Howe, Roger (1989), "Observaciones sobre la teoría clásica de invariantes", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN  0002-9947, JSTOR  2001418, MR  0986027
• Olver, Peter J. (1999), Teoría invariante clásica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías sobre computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0, Sr.  1255980
• Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255 , consultado el 26 de marzo de 2007