Transvectivo

En la teoría matemática de invariantes, un transvectante es un invariante formado a partir de n invariantes en n variables utilizando el proceso Ω de Cayley .

Si Q ₁ ,..., Q _n son funciones de n variables x  =  ( x ₁ ,..., x _n ) y r  ≥  0 es un entero, entonces el r ^-ésimo transvectante de estas funciones es una función de n variables dada por$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{r}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})}$$dónde$${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$$es el proceso Ω de Cayley , y el producto tensorial significa tomar un producto de funciones con diferentes variables x ¹ ,..., x ⁿ , y el operador traza Tr significa igualar todos los vectores x ^k .

El transvector cero es el producto de las n funciones.$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{0}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})=\prod _{k}Q_{k}}$$El primer transvector es el determinante jacobiano de las n funciones.$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{1}(Q_{1}\otimes \cdots \otimes Q_{n})=\det {\begin{bmatrix}\partial _{k}Q_{l}\end{bmatrix}}}$$El segundo transvectante es una constante multiplicada por la forma completamente polarizada del Hessiano de las n funciones.

Cuando${\displaystyle n=2}$, los transvectantes binarios tienen una fórmula explícita: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {Tr} \Omega ^{k}(f\otimes g)=\sum _{l=0}^{k}(-1)^{l}{\binom {k}{l}}\partial _{x}^{kl}\partial _{y}^{l}f\partial _{y}^{kl}\partial _{l}^{l}g}$$que se puede escribir de forma más concisa como$${\displaystyle f\left({\overleftarrow {\partial _{x}}}\cdot {\overrightarrow {\partial _{y}}}-{\overleftarrow {\partial _{y}}}\cdot {\overrightarrow {\partial _{x}}}\right)^{k}g}$$donde las flechas denotan la función de la que se va a tomar la derivada. Esta notación se utiliza en el producto de Moyal .

• Olver, Peter J. (1999), Teoría clásica de invariantes , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
• Olver, Peter J .; Sanders, Jan A. (2000), "Transvectantes, formas modulares y el álgebra de Heisenberg", Advances in Applied Mathematics , 25 (3): 252–283 , CiteSeerX 10.1.1.46.803 , doi : 10.1006/aama.2000.0700 , ISSN 0196-8858 , MR 1783553