Regulus (geometría)

En el espacio tridimensional, un régulo R es un conjunto de líneas oblicuas , cada punto de las cuales está en una transversal que interseca un elemento de R solo una vez, y de tal manera que cada punto en una transversal se encuentra en una línea de R.

El conjunto de transversales de R forma un régulo opuesto S.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$La unión R ∪ S es la superficie reglada de un hiperboloide de una hoja .

Cualquier 3 líneas sesgadas generan un par de reguli: ^{[ 1 ]}

1. El conjunto de líneas que intersecan a las tres traza una superficie cuadrática. Esta regla de dicha superficie cuadrática se denomina regla.
2. El conjunto de líneas que intersecan todas las líneas en el régulo es el régulo complementario o régulo asociado , según el teorema de Gallucci .

Cualquier conjunto de tres líneas en un régulo genera el régulo complementario, y viceversa. La superficie del régulo es la única superficie cuadrática que contiene estas tres líneas. El par de régulos barre la misma superficie, lo que demuestra que se trata de una superficie doblemente reglada .

Según Charlotte Scott , "El régulo proporciona pruebas extremadamente simples de las propiedades de una cónica... los teoremas de Chasles, Brianchon y Pascal ..." ^{[ 2 ]}

En una geometría finita PG(3, q ), un regulus tiene q + 1 líneas. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, en 1954 William Edge describió un par de reguli de cuatro líneas cada uno en PG(3,3). ^{[ 4 ]}

Robert JT Bell describió cómo se genera el régulo mediante una línea recta en movimiento. Primero, el hiperboloide.${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1}$se considera como

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

Entonces, dos sistemas de líneas, parametrizados por λ y μ, satisfacen esta ecuación:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)}$y

${\displaystyle {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

Ningún miembro del primer conjunto de líneas pertenece al segundo. A medida que λ o μ varían, se genera el hiperboloide. Los dos conjuntos representan una régula y su opuesta. Utilizando geometría analítica , Bell demuestra que no hay dos generadores en un conjunto que se intersequen, y que cualesquiera dos generadores en régulas opuestas sí se intersecan y forman el plano tangente al hiperboloide en ese punto. (página 155). ^{[ 5 ]}

• Dispersión (geometría proyectiva)
• Plano de traslación §  Reguli y extensiones regulares

• HG Forder (1950) Geometría , página 118, Biblioteca Universitaria de Hutchinson.