Maridaje de Weil

En matemáticas , el emparejamiento de Weil es un emparejamiento ( forma bilineal , aunque con notación multiplicativa ) sobre los puntos de orden divisorio n de una curva elíptica E , que toma valores en raíces n -ésimas de la unidad . De manera más general, existe un emparejamiento de Weil similar entre puntos de orden n de una variedad abeliana y su dual. Fue introducido por André Weil (1940) para los jacobianos de curvas, quien dio una definición algebraica abstracta; los resultados correspondientes para funciones elípticas eran conocidos, y pueden expresarse simplemente mediante el uso de la función sigma de Weierstrass .

Elija una curva elíptica E definida sobre un cuerpo K y un entero n  > 0 (requerimos que n sea coprimo con char( K ) si char( K ) > 0) tal que K contenga una raíz n-ésima primitiva de la unidad . Entonces se sabe que la n -torsión en es un producto cartesiano de dos grupos cíclicos de orden n . El apareamiento de Weil produce una raíz n -ésima de la unidad.${\displaystyle E({\overline {K}})}$

${\displaystyle w(P,Q)\in \mu _{n}}$

por medio de la teoría de Kummer , para dos puntos cualesquiera , donde y . ${\displaystyle P,Q\en E(K)[n]}$${\displaystyle E(K)[n]=\{T\en E(K)\mid n\cdot T=O\}}$${\displaystyle \mu_{n}=\{x\in K\mid x^{n}=1\}}$

Una construcción realista del emparejamiento de Weil es la siguiente: elijamos una función F en el cuerpo de funciones de E sobre la clausura algebraica de K con divisor

${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\sum _{0\leq k<n}[P+k\cdot Q]-\sum _{0\leq k<n}[k\cdot Q].}$

Por lo tanto, F tiene un cero simple en cada punto P + kQ y un polo simple en cada punto kQ si estos puntos son todos distintos. Entonces, F está bien definida hasta la multiplicación por una constante. Si G es la traslación de F por Q , entonces, por construcción , G tiene el mismo divisor, por lo que la función G/F es constante.

Por lo tanto, si definimos

${\displaystyle w(P,Q):={\frac {G}{F}}}$

tendremos una raíz n -ésima de la unidad (ya que traducir n veces debe dar 1) distinta de 1. Con esta definición se puede demostrar que w es alternado y bilineal, ^[1] dando lugar a un apareamiento no degenerado en la n -torsión.

El emparejamiento de Weil no se extiende a un emparejamiento en todos los puntos de torsión (el límite directo de n puntos de torsión) porque los emparejamientos para diferentes n no son los mismos. Sin embargo, sí encajan para dar un emparejamiento T _ℓ ( E ) × T _ℓ ( E ) → T _ℓ (μ) en el módulo de Tate T _ℓ ( E ) de la curva elíptica E (el límite inverso de los ℓ ⁿ puntos de torsión) al módulo de Tate T _ℓ (μ) del grupo multiplicativo (el límite inverso de ℓ ⁿ raíces de la unidad).

Para variedades abelianas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K , el apareamiento de Weil es un apareamiento no degenerado.

${\displaystyle A[n]\times A^{\vee }[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

para todo n primo a la característica de K . ^[2] Aquí denota la variedad abeliana dual de A . Este es el llamado emparejamiento de Weil para dimensiones superiores. Si A está equipado con una polarización${\displaystyle A^{\vee}}$

${\displaystyle \lambda :A\longrightarrow A^{\vee }}$,

Entonces la composición da un emparejamiento (posiblemente degenerado)

${\displaystyle A[n]\times A[n]\longrightarrow \mu _{n}.}$

Si C es una curva proyectiva, no singular, de género ≥ 0 sobre k , y J es su jacobiano , entonces el divisor theta de J induce una polarización principal de J , que en este caso particular resulta ser un isomorfismo (véase autodualidad de los jacobianos ). Por lo tanto, al componer el emparejamiento de Weil para J con la polarización se obtiene un emparejamiento no degenerado

${\displaystyle J[n]\times J[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

para todo n primo de la característica de k .

Como en el caso de las curvas elípticas, se pueden dar fórmulas explícitas para este emparejamiento en términos de divisores de C.

El emparejamiento se utiliza en teoría de números y geometría algebraica , y también se ha aplicado en criptografía de curva elíptica y cifrado basado en identidad .

• Emparejamiento de Tate
• Criptografía basada en emparejamiento
• Esquema Boneh-Franklin
• Firmas homomórficas para codificación de redes

• Weil, André (1940), "Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 210 : 592–594, SEÑOR  0002863

• El emparejamiento de Weil en curvas elípticas sobre C (PDF)