Grupo multiplicativo

En matemáticas y teoría de grupos , el término grupo multiplicativo se refiere a uno de los siguientes conceptos:

• el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de un cuerpo , ^{[ 1 ]} anillo , u otra estructura para la cual una de sus operaciones se denomina multiplicación. En el caso de un cuerpo F , el grupo es ( F ∖ {0}, •) , donde 0 se refiere al elemento cero de F y la operación binaria • es la multiplicación de cuerpos ,
• el toro algebraico GL(1).

• El grupo multiplicativo de los enteros módulo n es el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de${\displaystyle \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$Cuando n no es primo, existen elementos distintos de cero que no son invertibles.
• El grupo multiplicativo de los números reales positivos${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$es un grupo abeliano con 1 como su elemento identidad . El logaritmo es un isomorfismo de grupo de este grupo al grupo aditivo de los números reales.${\displaystyle \mathbf {R} }$.
• El grupo multiplicativo de un cuerpo${\displaystyle F}$es el conjunto de todos los elementos distintos de cero:${\displaystyle F^{\times }=F\smallsetminus \{0\}}$, bajo la operación de multiplicación. Si${\displaystyle F}$es finito de orden q (por ejemplo q = p un número primo, y${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$), entonces el grupo multiplicativo es cíclico:${\displaystyle F^{\times }\cong \mathrm {C} _{q-1}}$.

El esquema de grupo de raíces n -ésimas de la unidad es, por definición, el núcleo del mapa de potencia n en el grupo multiplicativo GL(1), considerado como un esquema de grupo . Es decir, para cualquier entero n > 1 podemos considerar el morfismo en el grupo multiplicativo que toma potencias n -ésimas, y tomar un producto fibrado apropiado de esquemas , con el morfismo e que sirve como identidad.

El esquema de grupo resultante se escribe μ _n (o${\displaystyle \mu \!\!\mu _ {n}}$^{[ 2 ]} ). Da lugar a unesquema reducido, cuando lo tomamos sobre un cuerpoK,si y solo silacaracterísticadeKno dividea n. Esto lo convierte en una fuente de algunos ejemplos clave de esquemas no reducidos (esquemas conelementos nilpotentesen sushaces estructurales); por ejemplo, μ_psobre uncuerpo finitoconpelementos para cualquiernúmero primop.

Este fenómeno no se expresa fácilmente en el lenguaje clásico de la geometría algebraica. Por ejemplo, resulta de suma importancia para expresar la teoría de la dualidad de las variedades abelianas en característica p (teoría de Pierre Cartier ). La cohomología de Galois de este esquema de grupos es una forma de expresar la teoría de Kummer .

• Grupo multiplicativo de enteros módulo n
• Grupo aditivo

• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , vol.  1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Milne, James S. (1980). Étale cohomología . Prensa de la Universidad de Princeton.