Relación total

En matemáticas , una relación binaria R ⊆ X × Y entre dos conjuntos X e Y es total (o total izquierda ) si el conjunto fuente X es igual al dominio { x  : hay una y con xRy }. Por el contrario, R se llama total derecha si Y es igual al rango { y  : hay una x con xRy }.

Cuando f : X → Y es una función , el dominio de f es todo X , por lo tanto f es una relación total. Por otro lado, si f es una función parcial , entonces el dominio puede ser un subconjunto propio de X , en cuyo caso f no es una relación total.

"Se dice que una relación binaria es total con respecto a un universo de discurso sólo en el caso de que todo en ese universo de discurso esté en esa relación con algo más". ^[1]

Las relaciones totales se pueden caracterizar algebraicamente por igualdades y desigualdades que involucran composiciones de relaciones . Para este fin, sean dos conjuntos, y sea Para cualesquiera dos conjuntos sea la relación universal entre y y sea la relación de identidad en Usamos la notación para la relación inversa de${\estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$${\estilo de visualización A,B,}$${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B,}$${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\en A\}}$${\estilo de visualización A.}$${\displaystyle R^{\arriba}}$${\estilo de visualización R.}$

• ${\estilo de visualización R}$es total si y solo si para cualquier conjunto y cualquier implica ^{[2] : 54}${\estilo de visualización W}$${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$ ${\displaystyle S\neq \conjunto vacío}$${\displaystyle SR\neq \conjunto vacío .}$
• ${\estilo de visualización R}$es total si y solo si ^{[2] : 54}${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top}.}$
• Si es total, entonces El recíproco es verdadero si ^{[nota 1]}${\estilo de visualización R}$${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$${\displaystyle Y\neq \conjunto vacío .}$
• Si es total, entonces La inversa es verdadera si ^{[nota 2] [2] : 63}${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\conjunto vacío .}$${\displaystyle Y\neq \conjunto vacío .}$
• Si es total, entonces El recíproco es verdadero si ^{[2] : 54  [3]}${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$${\displaystyle Y\neq \conjunto vacío .}$
• De manera más general, si es total, entonces para cualquier conjunto y cualquier La inversa es verdadera si ^{[nota 3] [2] : 57}${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$ ${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$${\displaystyle Y\neq \conjunto vacío .}$

• Relación serial : una relación homogénea total

• Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional
• C. Brink, W. Kahl y G. Schmidt (1997) Métodos relacionales en informática , Advances in Computer Science, página 5, ISBN 3-211-82971-7 
• Gunther Schmidt y Thomas Strohlein (2012)[1987] Relaciones y gráficos , pág. 54, en Google Books
• Gunther Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , pág. 57, en Google Books