Categoría Daga

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría daga (también llamada categoría involutiva o categoría con involución ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es una categoría dotada de una cierta estructura denominada daga o involución . El nombre categoría daga fue acuñado por Peter Selinger. ^{[ 3 ]}

Una categoría de daga es una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$equipado con un endofunctor contravariante involutivo${\displaystyle \dagger }$que es la identidad en los objetos . ^{[ 4 ]}

En detalle, esto significa que:

• para todos los morfismos${\displaystyle f:A\to B}$, existe su adjunto${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• para todos los morfismos${\displaystyle f}$,${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• para todos los objetos${\displaystyle A}$,${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• a pesar de${\displaystyle f:A\to B}$y${\displaystyle g:B\to C}$,${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

Nótese que en la definición anterior, el término "adjunto" se usa de una manera análoga a (e inspirada por) el sentido del álgebra lineal , no en el sentido de la teoría de categorías .

Algunas fuentes ^{[ 5 ]} definen una categoría con involución como una categoría daga con la propiedad adicional de que su conjunto de morfismos está parcialmente ordenado y que el orden de los morfismos es compatible con la composición de morfismos, es decir${\displaystyle a<b}$implica${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$para morfismos${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$siempre que sus fuentes y destinos sean compatibles.

• La categoría Rel de conjuntos y relaciones posee una estructura de daga: para una relación dada${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$en Rel , la relación${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$es el recíproco relacional de${\displaystyle R}$. En este ejemplo, un morfismo autoadjunto es una relación simétrica .
• La categoría Cob de cobordismos es una categoría compacta de daga , en particular posee una estructura de daga.
• La categoría Hilb de espacios de Hilbert también posee una estructura de daga: dado un mapa lineal acotado${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, el mapa${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$es simplemente su adjunto en el sentido habitual.
• Todo monoide con involución es una categoría daga con un solo objeto. De hecho, todo conjunto hom de endomorfismos en una categoría daga no es simplemente un monoide , sino un monoide con involución, debido a la daga.
• Una categoría discreta es trivialmente una categoría daga.
• Un grupoide (y, como corolario trivial, un grupo ) también posee una estructura de daga, donde el adjunto de un morfismo es su inverso. En este caso, todos los morfismos son unitarios (definición a continuación).

En una categoría de dagas${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, un morfismo${\displaystyle f}$se llama

• unitario si${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• autoadjunto si${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

Esto último solo es posible para un endomorfismo.${\displaystyle f\colon A\to A}$Los términos unitario y autoadjunto en la definición anterior se toman de la categoría de espacios de Hilbert, donde los morfismos que satisfacen esas propiedades son entonces unitarios y autoadjuntos en el sentido usual.

• *-álgebra
• Categoría monoide simétrica de daga
• Categoría compacta de dagas

• Categoría Daga en el Laboratorio n