Banda (álgebra)

Las semirretículas son exactamente bandas conmutativas ; es decir, son las bandas que satisfacen la ecuación

• xy = yx para todo x e y .

Las bandas inducen un preorden que puede definirse como si . Requerir la conmutatividad implica que este preorden se convierte en un orden parcial (semireticular) .${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle xy=x}$

Una banda de cero a la izquierda es una banda que satisface la ecuación

• xy  = x  ,

de donde su tabla de Cayley tiene filas constantes.

Simétricamente, una banda de cero a la derecha es aquella que satisface

• xy  = y  ,

para que la tabla de Cayley tenga columnas constantes.

Una banda rectangular es una banda S que satisface

1. xyx = x para todo x , y ∈ S    , o equivalentemente,
2. xyz  = xz  para todo x , y , z ∈ S     ,

En cualquier semigrupo, la primera identidad es suficiente para caracterizar un semigrupo no conmutativo en ningún punto , la demostración de esto se presenta a continuación.

Sea un semigrupo no conmutativo en ningún punto. En cualquier magma flexible , cada elemento conmuta con su cuadrado. Por lo tanto, en cualquier semigrupo no conmutativo en ningún punto, cada elemento es idempotente, lo que significa que es una banda. Así, en cualquier semigrupo no conmutativo en ningún punto${\displaystyle (aa)a=a(aa)}$

${\displaystyle x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x}$.

Entonces conmuta con y por lo tanto, que es la primera identidad característica.${\displaystyle x}$${\displaystyle xyx}$${\displaystyle xyx=x}$

Ahora supongamos que la primera identidad se cumple en un semigrupo. Esta identidad implica idempotencia: y también se cumple la siguiente implicación en cualquier semigrupo: . Por lo tanto, este semigrupo, que es una banda, es en realidad un semigrupo no conmutativo en ningún punto:${\displaystyle a=aaa}$${\displaystyle aa=aaaa=a(aa)a=a}$${\displaystyle xy=yx\implies (xy)(yx)=(yx)(xy)}$

${\displaystyle xy=yx\implies x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y}$.

En cualquier semigrupo la primera identidad también implica la segunda porque xyz = xy ( zxz ) = ( x ( yz ) x ) z = xz .

Los elementos idempotentes de un semigrupo rectangular forman una subbanda que es una banda rectangular, pero un semigrupo rectangular puede tener elementos que no son idempotentes. En una banda, la segunda identidad implica obviamente la primera, pero esto requiere idempotencia. Existen semigrupos que satisfacen la segunda identidad pero no son bandas y no satisfacen la primera.

Existe una clasificación completa de bandas rectangulares. Dados conjuntos arbitrarios I y J , se puede definir una operación de magma en I × J   estableciendo

${\displaystyle (i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,}$

Esta operación es asociativa porque para cualesquiera tres pares ( i _x , j _x )  , ( i _y , j _y )  , ( iz _, j _z )  tenemos

${\displaystyle ((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$y asimismo

${\displaystyle (i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$

Estas dos identidades de magma (xy)z  = xz  y x(yz)  = xz  son juntas equivalentes a la segunda identidad característica anterior.

Ambas condiciones implican también asociatividad (xy)z  = x(yz) . Por lo tanto, cualquier magma que cumpla con estas dos identidades rectangulares y la idempotencia es una banda rectangular. Así pues, cualquier magma que cumpla con ambas identidades características (cuatro identidades de magma distintas) es una banda y, por consiguiente, una banda rectangular.

La operación magma definida anteriormente es una banda rectangular porque para cualquier par ( i , j )  tenemos ( i , j ) · ( i , j ) = ( i , j )        , por lo que cada elemento es idempotente y la primera identidad característica se deduce de la segunda junto con la idempotencia.

Pero un magma que satisface únicamente las identidades para la primera característica y la idempotencia no tiene por qué ser asociativo, por lo que la segunda característica solo se deduce de la primera en un semigrupo.

Cualquier banda rectangular es isomorfa a una de las formas anteriores (o bien es vacía, o bien se elige cualquier elemento , y entonces ( ) define un isomorfismo ). Las bandas de cero a la izquierda y de cero a la derecha son bandas rectangulares, y de hecho toda banda rectangular es isomorfa a un producto directo de una banda de cero a la izquierda y una banda de cero a la derecha. Todas las bandas rectangulares de orden primo son bandas de cero, ya sean izquierdas o derechas. Se dice que una banda rectangular es puramente rectangular si no es una banda de cero a la izquierda ni de cero a la derecha. ^{[ 3 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle s\mapsto (se,es)}$${\displaystyle S\cong Se\times eS}$

En lenguaje categórico , se puede decir que la categoría de bandas rectangulares no vacías es equivalente a , donde es la categoría con conjuntos no vacíos como objetos y funciones como morfismos. Esto implica no solo que toda banda rectangular no vacía es isomorfa a una que proviene de un par de conjuntos, sino también que estos conjuntos están determinados de forma única salvo un isomorfismo canónico, y todos los homomorfismos entre bandas provienen de pares de funciones entre conjuntos. ^{[ 4 ]} Si el conjunto I es vacío en el resultado anterior, la banda rectangular I × J es independiente de J , y viceversa. Por eso, el resultado anterior solo da una equivalencia entre bandas rectangulares no vacías y pares de conjuntos no vacíos.${\displaystyle \mathrm {Establecer} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Establecer} _{\neq \emptyset }}$${\displaystyle \mathrm {Conjunto} _ {\neq \emptyset }}$  

Las bandas rectangulares también son las T -álgebras, donde T es la mónada en Set con T ( X )= X × X , T ( f )= f × f , siendo la aplicación diagonal , y .${\displaystyle \eta _{X}}$${\displaystyle X\to X\times X}$${\displaystyle \mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})}$

Una banda normal es una banda S que satisface

• zxyz  = zyxz  paratodo x , y y z  ∈ S. 

También podemos decir que una banda normal es una banda S que satisface

• axyb  = ayxb  paratodo a , b , x e y  ∈ S. 

Esta es la misma ecuación que se usa para definir los magmas mediales , por lo que una banda normal también puede llamarse banda medial, y las bandas normales son ejemplos de magmas mediales. ^{[ 3 ]}

Una banda regular izquierda es una banda S que satisface

• xyx = xy para todo x , y ∈ S   

Si tomamos un semigrupo y definimos a ≤ b si ab = b , obtenemos un orden parcial si y solo si este semigrupo es una banda regular por la izquierda. Las bandas regulares por la izquierda aparecen, por lo tanto, de forma natural en el estudio de los conjuntos parcialmente ordenados . ^{[ 5 ]}

Una banda regular derecha es una banda S que satisface

• xyx = yx para todo x , y ∈ S   

Cualquier banda dextrógira se convierte en una banda levógira mediante el producto opuesto. De hecho, cada variedad de bandas tiene una versión "opuesta"; esto da lugar a la simetría de reflexión que se muestra en la figura siguiente.

Una banda regular es una banda S satisfactoria

• zxzyz = zxyz para todo x , y , z ∈ S    

Cuando se ordenan parcialmente por inclusión, las variedades de bandas forman naturalmente una red , en la que el punto de encuentro de dos variedades es su intersección y la unión de dos variedades es la variedad más pequeña que las contiene a ambas. Se conoce la estructura completa de esta red; en particular, es numerable , completa y distributiva . ^{[ 1 ]} La subred que consta de las 13 variedades de bandas regulares se muestra en la figura. Las variedades de bandas con cero a la izquierda, semiredes y bandas con cero a la derecha son los tres átomos (elementos mínimos no triviales) de esta red.

Cada variedad de bandas que se muestra en la figura se define mediante una sola identidad. Esto no es una coincidencia: de hecho, cada variedad de bandas puede definirse mediante una sola identidad. ^{[ 1 ]}