Semigrupo conmutativo en ninguna parte

En matemáticas , un semigrupo no conmutativo en ningún punto es un semigrupo S tal que, para todo a y b en S , si ab = ba entonces a = b . ^{[ 1 ]} Un semigrupo S no es conmutativo en ningún punto si y solo si cualesquiera dos elementos de S son inversos entre sí. ^{[ 1 ]}

En ningún lugar los semigrupos conmutativos pueden caracterizarse de varias maneras diferentes. Si S es un semigrupo, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes : ^{[ 2 ]}

• S no es conmutativo en ningún punto.
• S es una banda rectangular (en el sentido en que John Howie utiliza el término ^{[ 3 ]} ).
• Para todo a y b en S , aba = a .
• Para todos los a , b y c en S , a ² = a y abc = ac .

Aunque, por definición, las bandas rectangulares son semigrupos concretos, presentan el defecto de que su definición no se formula en términos de la operación binaria básica del semigrupo. El enfoque mediante la definición de semigrupos no conmutativos en ningún punto corrige este defecto. ^{[ 2 ]}

Para ver que un semigrupo no conmutativo en ningún punto es una banda rectangular, sea S un semigrupo no conmutativo en ningún punto. Usando las propiedades definitorias de un semigrupo no conmutativo en ningún punto, se puede ver que para cada a en S la intersección de las clases de Green R _a y L _a contiene el único elemento a . Sea S / L la familia de L -clases en S y S / R la familia de R -clases en S. El mapeo

ψ  : S → ( S / R ) × ( S / L )

definido por

a ψ = ( R _a , L _a )

es una biyección . Si el producto cartesiano ( S / R ) × ( S / L ) se convierte en un semigrupo al multiplicarlo por la banda rectangular, la aplicación ψ se convierte en un isomorfismo . Por lo tanto, S es isomorfo a una banda rectangular.

Otras afirmaciones de equivalencia se derivan directamente de las definiciones pertinentes.

• Clases especiales de semigrupos