Rango (álgebra lineal)

En álgebra lineal , el rango de una matriz $A$ es la dimensión del espacio vectorial generado (o abarcado ) por sus columnas. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Esto corresponde al número máximo de columnas linealmente independientes de $A.$ Esto, a su vez, es idéntico a la dimensión del espacio vectorial abarcado por sus filas. ^{[ 4 ]} El rango es, por lo tanto, una medida de la " no degeneración " del sistema de ecuaciones lineales y transformación lineal codificado por $A.$ Existen múltiples definiciones equivalentes de rango. El rango de una matriz es una de sus características más fundamentales.

El rango se suele denotar por $rank(A)$ o $rk(A)$ ; ^{[ 2 ]} a veces no se escriben los paréntesis, como en $rank A$ . ^{[ i ]} El rango también se puede denotar por $rg(A)$ , del alemán Rang .

En términos más generales, el rango de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales es la dimensión de su imagen .

Definiciones principales

En esta sección, presentamos algunas definiciones del rango de una matriz. Existen muchas definiciones posibles; consulte Definiciones alternativas para conocer algunas de ellas.

El rango de columna de A $es$ la dimensión del espacio columna de $A$ , mientras que el rango de fila de $A$ es la dimensión del espacio fila de $A.$

Un resultado fundamental en álgebra lineal es que el rango de columna y el rango de fila siempre son iguales. (Se dan tres demostraciones de este resultado en § Demostraciones de que rango de columna = rango de fila , más adelante). Este número (es decir, el número de filas o columnas linealmente independientes) se llama simplemente rango de $A.$

Se dice que una matriz tiene rango completo si su rango es igual al mayor posible para una matriz de las mismas dimensiones, que es el menor entre el número de filas y el de columnas. Se dice que una matriz tiene rango deficiente si no tiene rango completo. El rango deficiente de una matriz es la diferencia entre el menor entre el número de filas y el de columnas, y su rango.

El rango de un operador o aplicación lineal $\Phi$ se define como la dimensión de su imagen : ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $\operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))$ dónde $\dim$ es la dimensión de un espacio vectorial, y $\operatorname {img}$ es la imagen de un mapa.

Ejemplos

La matriz ${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$ tiene rango 2: las dos primeras columnas son linealmente independientes , por lo que el rango es al menos 2, pero como la tercera es una combinación lineal de las dos primeras (la primera columna más la segunda), las tres columnas son linealmente dependientes, por lo que el rango debe ser menor que 3.

La matriz $A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$ tiene rango 1: hay columnas distintas de cero, por lo que el rango es positivo, pero cualquier par de columnas es linealmente dependiente. De manera similar, la transpuesta $A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$ de $A$ tiene rango 1. De hecho, dado que los vectores columna de $A$ son los vectores fila de la transpuesta de $A$ , la afirmación de que el rango columna de una matriz es igual a su rango fila es equivalente a la afirmación de que el rango de una matriz es igual al rango de su transpuesta, es decir, $rango(A) = rango(A T)$ .

Cálculo del rango de una matriz

Clasificar desde filas escalonadas

Un método común para hallar el rango de una matriz consiste en reducirla a una forma más simple, generalmente la forma escalonada por filas , mediante operaciones elementales de fila . Estas operaciones no modifican el espacio de filas (por lo tanto, no alteran el rango de filas) y, al ser invertibles, transforman el espacio de columnas en un espacio isomorfo (por lo tanto, no alteran el rango de columnas). Una vez en forma escalonada por filas, el rango es claramente el mismo tanto para el rango de filas como para el de columnas, e iguala al número de pivotes (o columnas básicas) y también al número de filas distintas de cero.

Por ejemplo, la matriz $A$ dada por $A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$ se puede expresar en forma escalonada reducida por filas utilizando las siguientes operaciones elementales de fila: ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}$ La matriz final (en forma escalonada reducida por filas) tiene dos filas distintas de cero y, por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 2.

Cálculo

Cuando se aplica a cálculos de punto flotante en computadoras, la eliminación gaussiana básica ( descomposición LU ) puede ser poco confiable, por lo que se debe usar una descomposición que revele el rango. Una alternativa eficaz es la descomposición en valores singulares (SVD), pero existen otras opciones menos costosas computacionalmente, como la descomposición QR con pivoteo (la llamada factorización QR que revela el rango ), que aún son numéricamente más robustas que la eliminación gaussiana. La determinación numérica del rango requiere un criterio para decidir cuándo un valor, como un valor singular de la SVD, debe tratarse como cero, una elección práctica que depende tanto de la matriz como de la aplicación.

Pruebas de que el rango de columna es igual al rango de fila.

Demostración mediante reducción de filas

El hecho de que los rangos de las columnas y las filas de cualquier matriz sean iguales es fundamental en álgebra lineal. Se han dado muchas demostraciones. Una de las más elementales se ha esbozado en § Rango a partir de formas escalonadas de filas . Aquí presentamos una variante de esta demostración:

Es sencillo demostrar que ni el rango de filas ni el de columnas se modifican mediante una operación elemental de filas . A medida que la eliminación gaussiana se lleva a cabo mediante operaciones elementales de filas, la forma escalonada reducida de una matriz conserva el mismo rango de filas y el mismo rango de columnas que la matriz original. Otras operaciones elementales de columnas permiten transformar la matriz en una matriz identidad, posiblemente delimitada por filas y columnas de ceros. Nuevamente, esto no altera ni el rango de filas ni el de columnas. Es evidente que tanto el rango de filas como el de columnas de esta matriz resultante coinciden con el número de sus entradas no nulas.

Presentamos otras dos demostraciones de este resultado. La primera utiliza únicamente propiedades básicas de combinaciones lineales de vectores y es válida sobre cualquier cuerpo . La demostración se basa en Wardlaw (2005). ^{[ 9 ]} La segunda utiliza la ortogonalidad y es válida para matrices sobre los números reales ; se basa en Mackiw (1995). ^{[ 4 ]} Ambas demostraciones se pueden encontrar en el libro de Banerjee y Roy (2014). ^{[ 10 ]}

Demostración mediante combinaciones lineales

Sea $A$ una matriz $m \times n$ . Sea $r$ el rango de columna de $A$ , y sean $c$ $1$ $, ...,$ $c$ $r$ cualquier base para el espacio columna de $A.$ Coloquemos estas como las columnas de una matriz $m$ $\times$ $r$ $C.$ Cada columna de $A$ puede expresarse como una combinación lineal de las $r$ columnas de $C.$ Esto significa que existe una matriz $r$ $\times$ $n$ $R$ tal que $A$ $=$ $CR$ . $R$ es la matriz cuya $i-$ ésima columna se forma a partir de los coeficientes que dan la $i$ -ésima columna de $A$ como una combinación lineal de las $r$ columnas de $C.$ En otras palabras, $R$ es la matriz que contiene los múltiplos de las bases del espacio columna de $A$ (que es $C$ ), que luego se utilizan para formar $A$ en su conjunto. Ahora bien, cada fila de $A$ está dada por una combinación lineal de las $r$ filas de $R.$ Por lo tanto, las filas de $R$ forman un conjunto generador del espacio fila de $A$ y, por el lema de intercambio de Steinitz , el rango fila de $A$ no puede exceder $r$ . Esto demuestra que el rango de fila de $A$ es menor o igual que el rango de columna de $A.$ Este resultado se puede aplicar a cualquier matriz, así que apliquémoslo a la transpuesta de $A.$ Dado que el rango de fila de la transpuesta de $A$ es igual al rango de columna de $A$ y el rango de columna de la transpuesta de $A$ es igual al rango de fila de $A$ , se establece la desigualdad inversa y obtenemos la igualdad entre el rango de fila y el rango de columna de $A.$ (Véase también Factorización de rango ).

Demostración mediante ortogonalidad

Sea $A$ una matriz $m \times n$ con entradas en los números reales cuyo rango de fila es $r$ . Por lo tanto, la dimensión del espacio fila de $A$ es $r$ . Sea $x 1, x 2, ..., x r$ una base del espacio fila de $A.$ Afirmamos que los vectores $A x 1, A x 2, ..., A x r$ son linealmente independientes . Para ver por qué, consideremos una relación lineal homogénea que involucra a estos vectores con coeficientes escalares $c 1, c 2, ..., c r$ : $0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,$ donde $v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + \dots + c r x r$ . Hacemos dos observaciones: (a) $v$ es una combinación lineal de vectores en el espacio fila de $A$ , lo que implica que $v$ pertenece al espacio fila de $A$ , y (b) dado que $A v = 0$ , el vector $v$ es ortogonal a cada vector fila de $A$ y, por lo tanto, es ortogonal a cada vector en el espacio fila de $A$ . Los hechos (a) y (b) juntos implican que $v$ es ortogonal a sí mismo, lo que prueba que $v = 0$ o, por la definición de $v$ , $c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.$ Pero recordemos que los $x i$ fueron elegidos como base del espacio fila de $A$ y, por lo tanto, son linealmente independientes. Esto implica que $c 1 = c 2 = \dots = c r = 0.$ De ello se deduce que $A x 1, A x 2, ..., A x r$ son linealmente independientes.

Cada $A x i$ está en el espacio columna de $A.$ Por lo tanto, $A x 1, A x 2, ..., A x r$ es un conjunto de $r$ vectores linealmente independientes en el espacio columna de $A$ y, por consiguiente, la dimensión del espacio columna de $A$ (es decir, el rango columna de $A$ ) debe ser al menos tan grande como $r$ . Esto prueba que el rango fila de $A$ no es mayor que el rango columna de $A.$ Ahora aplicamos este resultado a la transpuesta de $A$ para obtener la desigualdad inversa y concluimos como en la demostración anterior.

Definiciones alternativas

En todas las definiciones de esta sección, la matriz $A$ se considera una matriz $m \times n$ sobre un campo arbitrario $F.$

Dimensiones de la imagen

Dada la matriz $A$ Existe un mapeo lineal asociado. $f:F^{n}\to F^{m}$ definido por $f(x)=Ax.$ El rango de $A$ es la dimensión de la imagen de $f$ Esta definición tiene la ventaja de que puede aplicarse a cualquier mapeo lineal sin necesidad de una matriz específica.

Clasificación en términos de nulidad

Dada la misma función lineal $f$ que la anterior, el rango es $n$ menos la dimensión del núcleo de $f$ . El teorema de rango-nulidad establece que esta definición es equivalente a la anterior.

Rango de columna: dimensión del espacio de columna

El rango de $A$ es el número máximo de columnas linealmente independientes. $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}$ de $A$ ; esta es la dimensión del espacio columna de $A$ (el espacio columna es el subespacio de $F m$ generado por las columnas de $A$ , que de hecho es solo la imagen del mapa lineal $f$ asociado a $A$ ).

Rango de fila: dimensión del espacio de fila

El rango de $A$ es el número máximo de filas linealmente independientes de $A$ ; esta es la dimensión del espacio fila de $A.$

Rango de descomposición

El rango de $A$ es el entero positivo más pequeño $k$ tal que $A$ se puede factorizar como $A=CR$ donde $C$ es una matriz $m \times k$ $y R$ es una matriz $k \times n$ . De hecho, para todos los enteros $k$ , las siguientes expresiones son equivalentes:

el rango de columna de $A$ es menor o igual que $k$ ,
Existen $k$ columnas $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ de tamaño $m$ tal que cada columna de $A$ es una combinación lineal de $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ ,
existe un $m\times k$ matriz $C$ y a $k\times n$ matriz $R$ tal que $A=CR$ (cuando $k$ es el rango, se trata de una factorización de rango de $A$ ),
existen $k$ filas $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ de tamaño $n$ tal que cada fila de $A$ es una combinación lineal de $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ ,
El rango de fila de $A$ es menor o igual que $k$ .

En efecto, las siguientes equivalencias son obvias: $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ . Por ejemplo, para demostrar (3) a partir de (2), tomemos $C$ como la matriz cuyas columnas son $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ de (2). Para demostrar (2) a partir de (3), tomemos $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ ser las columnas de $C$ .

Se deduce de la equivalencia $(1)\Leftrightarrow (5)$ que el rango de fila sea igual al rango de columna.

Al igual que en el caso de la caracterización de la "dimensión de la imagen", esto se puede generalizar a una definición del rango de cualquier aplicación lineal: el rango de una aplicación lineal $f : V \to W$ es la dimensión mínima $k$ de un espacio intermedio $X$ tal que $f$ se puede escribir como la composición de una aplicación $V \to X$ y una aplicación $X \to W.$ Desafortunadamente, esta definición no sugiere una manera eficiente de calcular el rango (para lo cual es mejor usar una de las definiciones alternativas). Véase factorización de rango para más detalles.

Clasificación en términos de valores singulares

El rango de $A es igual al número de$ valores singulares distintos de cero , que es el mismo que el número de elementos diagonales distintos de cero en Σ en la descomposición en valores singulares. $A=U\Sigma V^{*}$ .

Rango determinante: tamaño del menor no evanescente más grande

El rango de $A es el orden más alto de cualquier$ menor distinto de cero en $A.$ (El orden de un menor es la longitud del lado de la submatriz cuadrada de la que es determinante). Al igual que la caracterización del rango por descomposición, esto no proporciona una forma eficiente de calcular el rango, pero es útil teóricamente: un único menor distinto de cero evidencia una cota inferior (es decir, su orden) para el rango de la matriz, lo que puede ser útil (por ejemplo) para demostrar que ciertas operaciones no disminuyen el rango de una matriz.

$Un p$ -menor no nulo ( una submatriz de $p \times p$ con determinante distinto de cero) muestra que las filas y columnas de esa submatriz son linealmente independientes, y por lo tanto, esas filas y columnas de la matriz completa son linealmente independientes (en la matriz completa), de modo que el rango de filas y columnas es al menos tan grande como el rango determinante; sin embargo, el recíproco es menos directo. La equivalencia entre el rango determinante y el rango de columnas es un fortalecimiento de la afirmación de que si el espacio generado por $n$ vectores tiene dimensión $p$ , entonces $p$ de esos vectores generan el espacio (equivalentemente, que se puede elegir un conjunto generador que sea un subconjunto de los vectores): la equivalencia implica que un subconjunto de las filas y un subconjunto de las columnas definen simultáneamente una submatriz invertible (equivalentemente, si el espacio generado por $n$ vectores tiene dimensión $p$ , entonces $p$ de estos vectores generan el espacio y hay un conjunto de $p$ coordenadas en las que son linealmente independientes).

Rango tensorial: número mínimo de tensores simples

El rango de $A$ es el número más pequeño $k$ tal que $A$ puede escribirse como una suma de $k$ matrices de rango 1, donde una matriz se define como de rango 1 si y solo si puede escribirse como un producto distinto de cero. $c\cdot r$ de un vector columna $c$ y un vector fila $r$ . Esta noción de rango se llama rango tensorial ; puede generalizarse en la interpretación de modelos separables de la descomposición en valores singulares .

Propiedades

Suponemos que $A$ es una matriz $m \times n$ , y definimos la aplicación lineal $f$ mediante $f (x) = A x$ como se indicó anteriormente.

El rango de una matriz $m \times n$ es un entero no negativo y no puede ser mayor que $m$ ni que $n$ . Es decir, $\operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).$ Se dice que una matriz que tiene rango $min(m, n) tiene$ rango completo ; de lo contrario, la matriz tiene rango deficiente .
Solo una matriz nula tiene rango cero.
$f$ es inyectiva (o "uno a uno") si y solo si $A$ tiene rango $n$ (en este caso, decimos que $A$ tiene rango de columna completo ).
$f$ es sobreyectiva (o "sobre") si y solo si $A$ tiene rango $m$ (en este caso, decimos que $A$ tiene rango de fila completo ).
Si $A$ es una matriz cuadrada (es decir, $m = n$ ), entonces $A$ es invertible si y solo si $A$ tiene rango $n$ (es decir, $A$ tiene rango completo).
Si $B$ es cualquier matriz $n \times k$ , entonces $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).$
Si $B$ es una matriz $n \times k$ de rango $n$ , entonces $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
Si $C$ es una matriz $l \times m$ de rango $m$ , entonces $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
El rango de $A$ es igual a $r$ si y solo si existe una matriz invertible $m \times m$ $X$ y una matriz invertible $n \times n$ $Y$ tales que $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}},$ donde $I r$ denota la matriz identidad $r \times r$ y las tres matrices cero tienen tamaños $r$ $\times ($ $n$ $-$ $r$ $)$ , $($ $m$ $-$ $r$ $) \times$ $r$ y $($ $m$ $-$ $r$ $) \times ($ $n$ $-$ $r$ $)$ .
Desigualdad de rango de Sylvester :^{[ 11 ]} si $A$ es unamatriz $m \times n$ $y B$ es $n \times k$ , entonces

\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (B)-\dim(\operatorname {Im} B\cap \ker A)

lo cual implica ^{[ ii ]}

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).

Este es un caso especial de la siguiente desigualdad.

La desigualdad debida a Frobenius : si $AB$ , $ABC$ y $BC$ están definidos, entonces ^{[ iii ]} $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$
Subaditividad de rango: ^{[ 12 ]} si $A$ y $B$ son matrices $m \times n$ , entonces

|\operatorname {rank} (A)-\operatorname {rank} (B)|\leq \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)

La igualdad en la segunda desigualdad se cumple si y solo si los espacios columna de

A

y

B

, y simultáneamente los espacios fila de

A

y

B

, tienen en común únicamente el vector cero. En consecuencia, una matriz de rango

k

puede escribirse como la suma de al menos

k

matrices de rango 1.

Si $A$ es una matriz sobre los números reales , entonces el rango de $A$ y el rango de su matriz de Gram correspondiente son iguales. Por lo tanto, para matrices reales $\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).$ Esto se puede demostrar probando la igualdad de sus espacios nulos . El espacio nulo de la matriz de Gram viene dado por los vectores $x$ para los cuales $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ Si se cumple esta condición, también tenemos $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ ^{[ 13 ]} De hecho, desde $(kerA)^{\perp }=\operatorname {Im} A^{T}$ , $\mathbb {R} ^{n}=kerA\oplus \operatorname {Im} A^{T}$ , lo cual implica $\operatorname {Im} A=\operatorname {Im} AA^{T}$ y asimismo $\operatorname {Im} A^{T}=\operatorname {Im} A^{T}A$ .
Si $A$ es una matriz sobre los números complejos y ${\overline {A}}$ denota el conjugado complejo de $A$ y $A *$ la transpuesta conjugada de $A$ (es decir, el adjunto de $A$ ), entonces $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).$

Aplicaciones

Una aplicación útil del cálculo del rango de una matriz es la determinación del número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales . Según el teorema de Rouché-Capelli , el sistema es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de ambas matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. En caso contrario, la solución general tiene $k$ parámetros libres, donde $k$ es la diferencia entre el número de variables y el rango. En este caso (y suponiendo que el sistema de ecuaciones está expresado en números reales o complejos), el sistema tiene infinitas soluciones.

En la teoría de control , el rango de una matriz se puede utilizar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable .

En el campo de la complejidad de la comunicación , el rango de la matriz de comunicación de una función proporciona límites a la cantidad de comunicación necesaria para que dos partes calculen la función.

Generalización

Existen diferentes generalizaciones del concepto de rango a matrices sobre anillos arbitrarios , donde el rango de columna, el rango de fila, la dimensión del espacio columna y la dimensión del espacio fila de una matriz pueden ser diferentes entre sí o pueden no existir.

Si pensamos en las matrices como tensores , el rango tensorial se generaliza a tensores arbitrarios; para tensores de orden mayor que 2 (las matrices son tensores de orden 2), el rango es muy difícil de calcular, a diferencia de lo que ocurre con las matrices.

Existe una noción de rango para aplicaciones suaves entre variedades suaves . Es igual al rango lineal de la derivada .

Matrices como tensores

El rango de una matriz no debe confundirse con el orden de un tensor , que se denomina simplemente rango tensorial. El orden de un tensor es el número de índices necesarios para escribir un tensor , por lo que todas las matrices tienen un orden tensorial de 2. Más precisamente, las matrices son tensores de tipo (1,1), con un índice de fila y un índice de columna, también llamados orden covariante 1 y orden contravariante 1; consulte Tensor (definición intrínseca) para obtener más detalles.

El rango tensorial de una matriz también puede significar el número mínimo de tensores simples necesarios para expresar la matriz como una combinación lineal, y esta definición coincide con el rango de la matriz, tal como se ha analizado aquí.

Véase también

Notas

↑ La notación alternativa incluye $\rho (\Phi )$ de Katznelson & Katznelson (2008 , p. 52, §2.5.1) y Halmos (1974 , p. 90, § 50) .
↑ Demostración: Aplicar el teorema de rango-nulidad a la desigualdad $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$
↑ Prueba. El mapa $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ está bien definida y es inyectiva. Obtenemos así la desigualdad en términos de dimensiones del núcleo, que luego puede convertirse en la desigualdad en términos de rangos mediante el teorema de rango-nulidad . Alternativamente, si $M$ es un subespacio lineal entonces $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; aplicar esta desigualdad al subespacio definido por el complemento ortogonal de la imagen de $BC$ en la imagen de $B$ , cuya dimensión es $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; su imagen bajo $A$ tiene dimensión $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

Referencias

↑ Axler (2015) págs. 111-112, §§ 3.115, 3.119
^ Romano (2005) pág. 48, § 1.16
↑ Bourbaki, Álgebra , cap. II, §10.12, pág. 359
1 2 Mackiw, G. (1995), "Una nota sobre la igualdad del rango de columna y fila de una matriz", Mathematics Magazine , 68 (4): 285– 286, doi : 10.1080/0025570X.1995.11996337
↑ Hefferon (2020) pág. 200, cap. 3, Definición 2.1
^ Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
↑ Valenza (1993) pág. 71, § 4.3
^ Halmos (1974) pág. 90, artículo 50
↑ Wardlaw, William P. (2005), "Row Rank Equals Column Rank", Mathematics Magazine , 78 (4): 316–318 , doi : 10.1080/0025570X.2005.11953349 , S2CID 218542661
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Zhang, Fuzhen (2011). «Teorema 2.6». Teoría de matrices: resultados y técnicas básicas . Universitext (2.ª ed.). Springer. pág. 52. ISBN 978-1-4614-1098-0.
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). «Sección 0.4.5(d)». Análisis matricial (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 13. ISBN 978-0-521-54823-6.
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Fuentes

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Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4.ª ed.). Orthogonal Publishing L3C. ISBN 978-1-944325-11-4.
Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Álgebra lineal: Una introducción a las matemáticas abstractas . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado (3.ª ed.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.

Lecturas adicionales

Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1985). Análisis matricial . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K. Dos capítulos del libro Introducción al álgebra matricial: 1. Vectoresy sistema de ecuaciones
Mike Brookes: Manual de referencia de Matrix.

[5] La notación alternativa incluye $\rho (\Phi )$ de Katznelson & Katznelson (2008 , p. 52, §2.5.1) y Halmos (1974 , p. 90, § 50) .

[13] Demostración: Aplicar el teorema de rango-nulidad a la desigualdad $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$

[14] Prueba. El mapa $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ está bien definida y es inyectiva. Obtenemos así la desigualdad en términos de dimensiones del núcleo, que luego puede convertirse en la desigualdad en términos de rangos mediante el teorema de rango-nulidad . Alternativamente, si $M$ es un subespacio lineal entonces $\dim(AM)\leq \dim(M)$ ; aplicar esta desigualdad al subespacio definido por el complemento ortogonal de la imagen de $BC$ en la imagen de $B$ , cuya dimensión es $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ; su imagen bajo $A$ tiene dimensión $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

[1] Axler (2015) págs. 111-112, §§ 3.115, 3.119

[:0-2] Romano (2005) pág. 48, § 1.16

[3] Bourbaki, Álgebra , cap. II, §10.12, pág. 359

[mackiw-4] 1 2 Mackiw, G. (1995), "Una nota sobre la igualdad del rango de columna y fila de una matriz", Mathematics Magazine , 68 (4): 285– 286, doi : 10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] Hefferon (2020) pág. 200, cap. 3, Definición 2.1

[7] Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1

[8] Valenza (1993) pág. 71, § 4.3

[9] Halmos (1974) pág. 90, artículo 50

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