Controlabilidad

La controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control y desempeña un papel crucial en muchos problemas de regulación, como la estabilización de sistemas inestables mediante retroalimentación, problemas de seguimiento, la obtención de estrategias de control óptimas o, simplemente, la prescripción de una entrada que tenga el efecto deseado sobre el estado.

La controlabilidad y la observabilidad son conceptos duales . La controlabilidad se refiere a la regulación del estado mediante la elección de una entrada adecuada, mientras que la observabilidad se refiere a la capacidad de conocer el estado observando la salida (suponiendo que la entrada también se esté observando).

En términos generales, el concepto de controlabilidad se refiere a la capacidad de dirigir un sistema dentro de su espacio de configuración utilizando únicamente ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía según el marco de trabajo o el tipo de modelos que se consideren.

Los siguientes son ejemplos de variantes de las nociones de controlabilidad que se han introducido en la literatura sobre sistemas y control:

• Controlabilidad del estado: la capacidad de dirigir el sistema entre estados.
• Controlabilidad sólida: la capacidad de alternar entre estados en cualquier intervalo de tiempo especificado.
• Controlabilidad colectiva: la capacidad de dirigir simultáneamente un conjunto de sistemas dinámicos.
• Controlabilidad de la trayectoria: la capacidad de dirigir a lo largo de una trayectoria predefinida en lugar de simplemente hacia un estado final deseado.
• Controlabilidad de la salida: la capacidad de dirigirla a valores específicos de la salida.
• Controlabilidad en el marco conductual: una condición de compatibilidad entre trayectorias de entrada y salida pasadas y futuras.

El estado de un sistema determinista , que es el conjunto de valores de todas las variables de estado del sistema (aquellas variables caracterizadas por ecuaciones dinámicas), describe completamente el sistema en cualquier momento dado. En particular, no se necesita información sobre el pasado de un sistema para ayudar a predecir el futuro, si se conocen los estados en el presente y todos los valores actuales y futuros de las variables de control (aquellas cuyos valores se pueden elegir).

La controlabilidad completa del estado (o simplemente controlabilidad si no se proporciona otro contexto) describe la capacidad de una entrada externa (el vector de variables de control) para cambiar el estado interno de un sistema desde cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito. ^{[ 1 ] : 737}

Es decir, podemos definir informalmente la controlabilidad de la siguiente manera: si para cualquier estado inicial _x₀ y cualquier estado final xₜ existe una secuencia de entrada que permite transferir el estado del sistema de x₀ a xₜ en un intervalo de tiempo finito, entonces el sistema modelado por la representación _en el espacio de estados es controlable. _{Para el ejemplo más simple de un sistema continuo ,} lineal e invariante en el tiempo (LTI), la dimensión de la fila de la expresión en el espacio de estados ẋ = A x ( t ) + B u ( t ) determina el intervalo; cada fila aporta un vector al espacio de estados del sistema. Si no hay suficientes vectores de este tipo para abarcar el espacio de estados de x , entonces el sistema no puede alcanzar la controlabilidad. Puede ser necesario modificar A y B para aproximar mejor las relaciones diferenciales subyacentes que estima para lograr la controlabilidad.

La controlabilidad no significa que un estado alcanzado pueda mantenerse, sino simplemente que se puede alcanzar cualquier estado.

La controlabilidad no implica que se puedan trazar trayectorias arbitrarias en el espacio de estados, sino únicamente que existe una trayectoria dentro de un intervalo de tiempo finito. Cuando dicho intervalo de tiempo puede especificarse, se suele decir que el sistema dinámico es altamente controlable.

Consideremos el sistema lineal continuo ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

Existe un control u del estado x ₀ en el tiempo t ₀ al estado x ₁ en el tiempo t ₁ > t ₀ si y solo si x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀ está en el espacio columna de $${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{\mathsf {T}}\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}\mathrm {d} t}$$ donde ϕ ( t ₀ , t ) es la matriz de transición de estado y W ( t ₀ , t ₁ ) es el Gramiano de Controlabilidad .

De hecho, si η ₀ es una solución a W ( t ₀ , t ₁ ) η = x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀ entonces un control dado por u ( t ) = − B ( t ) ^T ϕ ( t ₀ , t ) ^T η ₀ haría la transferencia deseada.

Nótese que la matriz W ( t ₀ , t ₁ ) definida como se indicó anteriormente tiene las siguientes propiedades:

El Gramiano de Controlabilidad implica la integración de la matriz de transición de estados de un sistema. Una condición más simple para la controlabilidad es una condición de rango análoga a la condición de rango de Kalman para sistemas invariantes en el tiempo.

Consideremos un sistema lineal de tiempo continuo Σ que varía suavemente en un intervalo [ t ₀ , t ] : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

La matriz de transición de estado ϕ también es suave. Introducimos la función matricial n × m M ₀ ( t ) = ϕ ( t ₀ , t ) B ( t ) y definimos $${\displaystyle M_{k}(t)={\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1.}$$

Consideremos la matriz de funciones con valores matriciales obtenida al enumerar todas las columnas de la matriz M ( M _i , para i = 0, 1, ... , k ): $${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right].}$$

Si existe un t̅ ∈ [ t ₀ , t ] y un entero no negativo k tal que rango M ^{( k )} ( t̅ ) = n , entonces Σ es controlable. ^{[ 3 ]}

Si Σ también varía analíticamente en un intervalo [ t ₀ , t ] , entonces Σ es controlable en cada subintervalo no trivial de [ t ₀ , t ] si y solo si existe un t̅ ∈ [ t ₀ , t ] y un entero no negativo k tal que rango M ^{( k )} ( t _i ) = n . ^{[ 3 ]}

Los métodos anteriores aún pueden ser complejos de verificar, ya que implican el cálculo de la matriz de transición de estado ϕ . Otra condición equivalente se define de la siguiente manera. Sea B ₀ ( t ) = B ( t ) , y para cada i ≥ 0 , defina $${\displaystyle B_{i+1}(t)=A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$$ En este caso, cada B _i se obtiene directamente de los datos ( A ( t ), B ( t )) . El sistema es controlable si existe un t̅ ∈ [ t ₀ , t ] y un entero no negativo k tal que rango( [ B ₀ ( t̅ ), B ₁ ( t̅ ), ... , B _k ( t̅ ) ] ) = n . ^{[ 3 ]}

Para un sistema de espacio de estados lineal de tiempo discreto (es decir, variable en el tiempo)${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) la ecuación de estado es $${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$$ donde A es una matriz n × n y B es una matriz n × r (es decir, u son r entradas recopiladas en un vector r × 1 ). La prueba de controlabilidad es que la matriz n × nr$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$ tiene rango de fila completo (es decir, rango( C ) = n ). Es decir, si el sistema es controlable, C tendrá n columnas que son linealmente independientes ; si n columnas de C son linealmente independientes , cada uno de los n estados es alcanzable al proporcionar al sistema las entradas adecuadas a través de la variable u ( k ) .

Sistemas no lineales en forma control-afín

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

son accesibles localmente aproximadamente${\displaystyle x_{0}}$si la distribución de accesibilidad${\displaystyle R}$abarca${\displaystyle n}$espacio, cuando${\displaystyle n}$es igual a la dimensión de${\displaystyle x}$y R viene dado por: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

Aquí,${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$es la operación repetida de corchete de Lie definida por

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

La matriz de controlabilidad para sistemas lineales de la sección anterior se puede derivar, de hecho, de esta ecuación.

Cuando la autoridad de control sobre un sistema dinámico lineal se ejerce mediante la elección de una matriz de ganancia de retroalimentación variable en el tiempo${\displaystyle K(t)}$, el sistema

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=(A-BK(t))\mathbf {x} }$

es no lineal, en el sentido de que están presentes productos de parámetros de control y estados. La distribución de accesibilidad${\displaystyle R}$es, como antes,

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}.}$

Es evidente que para que el sistema sea controlable, es necesario que${\displaystyle R}$tiene rango de columna completo. Resulta que esta condición también es suficiente. Sin embargo, la estrategia de control (óptima) explicada anteriormente necesita ser modificada de manera que la trayectoria al aplicar una entrada óptima para dirigir el sistema entre los estados especificados no pase por el origen, de lo contrario la entrada reguladora no puede escribirse en forma de retroalimentación.${\displaystyle u=-K(t)\mathbf {x} }$. La controlabilidad, así como la fuerte controlabilidad de este sistema bilineal, se demostró en . ^{[ 5 ]}

La controlabilidad colectiva representa la capacidad de dirigir.${\displaystyle n}$sistemas dinámicos lineales que obedecen a dinámicas idénticas

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}^{(i)}(t)=A\mathbf {x} ^{(i)}(t)+B\mathbf {u} ^{(i)}(t)}$

dónde${\displaystyle n}$es igual a la dimensión de${\displaystyle \mathbf {x} }$, entre configuraciones iniciales y finales especificadas mediante una matriz de ganancia de retroalimentación de estado común${\displaystyle K(t)}$y, por lo tanto, cada uno instanciando una entrada de control.

${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}(t)=K(t){\mathbf {x} }^{(i)}(t)}$

para${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$, respectivamente.

La distribución de accesibilidad${\displaystyle R}$Tener rango de columna completo es una condición necesaria, aunque trivial. También es suficiente, y de hecho, el colectivo es altamente controlable, ya que puede dirigirse desde una configuración inicial.

${\displaystyle \Phi (0)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(0)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(0)\end{bmatrix}}}$

a cualquier configuración de terminal especificada

${\displaystyle \Phi (T)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(T)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(T)\end{bmatrix}},}$

proporcionó${\displaystyle \det(\Phi (0)\Phi (T))>0}$, durante cualquier intervalo de tiempo especificado${\displaystyle [0,T]}$mediante la elección de una matriz de ganancia de retroalimentación variable en el tiempo común.${\displaystyle K(t)}$proporcionó${\displaystyle R}$tiene rango de columna completo. ^{[ 5 ]}

Si un sistema de control discreto es nulo-controlable, significa que existe un controlable.${\displaystyle u(k)}$de modo que${\displaystyle x(k_{0})=0}$para algún estado inicial${\displaystyle x(0)=x_{0}}$En otras palabras, es equivalente a la condición de que exista una matriz${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle A+BF}$es nilpotente.

Esto se puede demostrar fácilmente mediante la descomposición en controlable-incontrolable.

La controlabilidad de la salida es el concepto relacionado con la salida del sistema (denotada como y en las ecuaciones anteriores); describe la capacidad de una entrada externa para modificar la salida desde cualquier condición inicial a cualquier condición final en un intervalo de tiempo finito. No es necesario que exista ninguna relación entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad de la salida. En particular:

• Un sistema controlable no necesariamente permite el control de su salida. Por ejemplo, si la matriz D = 0 y la matriz C no tiene rango de fila completo, algunas posiciones de la salida quedan enmascaradas por la estructura limitante de la matriz de salida y, por lo tanto, son inalcanzables. Además, aunque el sistema pueda pasar a cualquier estado en un tiempo finito, puede haber algunas salidas inaccesibles para todos los estados. Un ejemplo numérico sencillo utiliza D = 0 y una matriz C con al menos una fila de ceros; por lo tanto, el sistema no puede producir una salida distinta de cero en esa dimensión.
• Un sistema con salida controlable no implica necesariamente un sistema con estado controlable. Por ejemplo, si la dimensión del espacio de estados es mayor que la dimensión de la salida, existirá un conjunto de posibles configuraciones de estado para cada salida. Es decir, el sistema puede presentar dinámicas nulas significativas , que son trayectorias del sistema no observables desde la salida. Por consiguiente, poder llevar una salida a una posición determinada en un tiempo finito no aporta información sobre la configuración de estado del sistema.

Para un sistema lineal de tiempo continuo, como el ejemplo anterior, descrito por las matrices A , B , C y D , la matriz de controlabilidad de salida m × ( n + 1) r$${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$$ tiene rango de fila completo (es decir, rango m ) si y solo si el sistema es controlable por salida. ^{[ 1 ] : 742} . Bajo ciertas condiciones, la controlabilidad de salida y la observabilidad funcional de un sistema son problemas matemáticamente duales . ^{[ 6 ]}

En sistemas con autoridad de control limitada, a menudo ya no es posible mover ningún estado inicial a ningún estado final dentro del subespacio controlable. Este fenómeno se debe a restricciones en la entrada que pueden ser inherentes al sistema (por ejemplo, debido a la saturación del actuador ) o impuestas al sistema por otras razones (por ejemplo, debido a preocupaciones relacionadas con la seguridad). La controlabilidad de sistemas con restricciones de entrada y estado se estudia en el contexto de la alcanzabilidad ^{[ 7 ]} y la teoría de la viabilidad ^{[ 8 ]} .

En el enfoque teórico de sistemas conductuales propuesto por Willems (véase « Personas en sistemas y control »), los modelos considerados no definen directamente una estructura de entrada - salida. En este marco, los sistemas se describen mediante trayectorias admisibles de un conjunto de variables, algunas de las cuales pueden interpretarse como entradas o salidas.

Un sistema se define entonces como controlable en este contexto si cualquier parte pasada de un comportamiento (trayectoria de las variables externas) puede concatenarse con cualquier trayectoria futura del comportamiento de tal manera que la concatenación esté contenida en el comportamiento, es decir, sea parte del comportamiento admisible del sistema. ^{[ 9 ] : 151}

Un concepto ligeramente menos estricto que la controlabilidad es el de estabilizabilidad . Se dice que un sistema es estabilizable cuando todas las variables de estado incontrolables pueden lograr una dinámica estable . Por lo tanto, aunque algunas variables de estado no puedan controlarse (según lo determinado por la prueba de controlabilidad anterior), todas las variables de estado permanecerán acotadas durante el comportamiento del sistema. ^{[ 10 ]}

Sea T ∈ T y x ∈ X (donde X es el conjunto de todos los estados posibles y T es un intervalo de tiempo). El conjunto alcanzable desde x en el tiempo T se define como: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\},}$$ donde x T → z denota que existe una transición de estado de x a z en el tiempo T.

Para los sistemas autónomos, el conjunto alcanzable viene dado por: $${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B),}$$ donde R es la matriz de controlabilidad.

Un conjunto relacionado con el conjunto alcanzable es el conjunto controlable, definido por: $${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}.}$$Sontag presenta la relación entre alcanzabilidad y controlabilidad: ^{[ 3 ]}

• Observabilidad
• Hautus lema

• Función de MATLAB para comprobar la controlabilidad de un sistema. Archivada el 10 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
• Función de Mathematica para comprobar la controlabilidad de un sistema.