Independencia lineal

Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito es linealmente independiente. Esta definición también se aplica a conjuntos finitos de vectores, ya que un conjunto finito es un subconjunto finito de sí mismo, y todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente también lo es.

Por el contrario, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente, o, equivalentemente, si algún vector del conjunto es una combinación lineal de otros vectores del conjunto.

Una familia indexada de vectores es linealmente independiente si no contiene el mismo vector dos veces y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. En caso contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente .

Un conjunto de vectores linealmente independientes que genera un espacio vectorial constituye una base para dicho espacio. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los números reales tiene como base el subconjunto (infinito) {1, x , x² , ^... } .

Dejar${\displaystyle V}$Sea un espacio vectorial. Un conjunto${\displaystyle X\subsetequ V}$es linealmente independiente si y solo si${\displaystyle X}$es un elemento mínimo de

${\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}}$

por el orden de inclusión . En contraste,${\displaystyle X}$es linealmente dependiente si tiene un subconjunto propio cuyo espacio generado es un superconjunto de${\displaystyle X}$.

Una persona que describe la ubicación de un lugar podría decir: «Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí». Esta información es suficiente para describir la ubicación, ya que el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse un espacio vectorial bidimensional (sin tener en cuenta la altitud ni la curvatura de la superficie terrestre). La persona podría añadir: «El lugar está a 5 millas al noreste de aquí». Esta última afirmación es cierta , pero no es necesaria para determinar la ubicación.

En este ejemplo, el vector "3 millas al norte" y el vector "4 millas al este" son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no se puede describir en términos del vector este, y viceversa. El tercer vector, "5 millas al noreste", es una combinación lineal de los otros dos vectores, lo que hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente ; es decir, uno de los tres vectores no es necesario para definir una ubicación específica en un plano.

Cabe señalar también que, si no se ignora la altitud, es necesario añadir un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en un espacio n -dimensional.

Si uno o más vectores de una secuencia dada de vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$es el vector cero${\displaystyle \mathbf {0} }$entonces los vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$son necesariamente linealmente dependientes (y, en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, supongamos que${\displaystyle i}$es un índice (es decir, un elemento de${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$) tal que${\displaystyle \mathbf {v} _ {i}=\mathbf {0} .}$Entonces deja${\displaystyle a_{i}:=1}$(alternativamente, dejar${\displaystyle a_{i}}$ser igual a cualquier otro escalar distinto de cero también funcionará) y luego sean todos los demás escalares${\displaystyle 0}$(explícitamente, esto significa que para cualquier índice${\displaystyle j}$otro que${\displaystyle i}$(es decir, para${\displaystyle j\neq i}$), dejar${\displaystyle a_{j}:=0}$de modo que, en consecuencia,${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$). Simplificando${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$da:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Porque no todos los escalares son cero (en particular,${\displaystyle a_{i}\neq 0}$), esto prueba que los vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$son linealmente dependientes.

En consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a ninguna colección de vectores que sea linealmente independiente .

Ahora consideremos el caso especial donde la secuencia de${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$tiene longitud${\displaystyle 1}$(es decir, el caso en el que${\displaystyle k=1}$). Una colección de vectores que consta de exactamente un vector es linealmente dependiente si y solo si ese vector es cero. Explícitamente, si${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$es cualquier vector entonces la secuencia${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$(que es una secuencia de longitud${\displaystyle 1}$) es linealmente dependiente si y solo si${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$; alternativamente, la colección${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$es linealmente independiente si y solo si${\displaystyle \mathbf {v} _ {1}\neq \mathbf {0} .}$

Este ejemplo considera el caso especial en el que hay exactamente dos vectores.${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$de algún espacio vectorial real o complejo. Los vectores${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$son linealmente dependientes si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$es un múltiplo escalar de${\displaystyle \mathbf {v} }$(explícitamente, esto significa que existe un escalar)${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$) o
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$es un múltiplo escalar de${\displaystyle \mathbf {u} }$(explícitamente, esto significa que existe un escalar)${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$).

Si${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$luego, al configurar${\displaystyle c:=0}$tenemos${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$(esta igualdad se mantiene independientemente del valor de${\displaystyle \mathbf {v} }$es), lo que demuestra que (1) es cierto en este caso particular. De manera similar, si${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$entonces (2) es verdadero porque${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ Si${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$(por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero)${\displaystyle \mathbf {0} }$) entonces tanto (1) como (2) son verdaderas (usando${\displaystyle c:=1}$para ambos).

Si${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$entonces${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$solo es posible si${\displaystyle c\neq 0}$y${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por${\textstyle {\frac {1}{c}}}$para concluir${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ Esto demuestra que si${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$y${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ then (1) is true if and only if (2) is true; that is, in this particular case either both (1) and (2) are true (and the vectors are linearly dependent) or else both (1) and (2) are false (and the vectors are linearly independent). If ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ but instead ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ then at least one of ${\displaystyle c}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ must be zero. Moreover, if exactly one of ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is ${\displaystyle \mathbf {0} }$ (while the other is non-zero) then exactly one of (1) and (2) is true (with the other being false).

The vectors ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are linearly independent if and only if ${\displaystyle \mathbf {u} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mathbf {v} }$and${\displaystyle \mathbf {v} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Three vectors: Consider the set of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$ then the condition for linear dependence seeks a set of non-zero scalars, such that

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

or

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Row reduce this matrix equation by subtracting the first row from the second to obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Continue the row reduction by (i) dividing the second row by 5, and then (ii) multiplying by 3 and adding to the first row, that is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearranging this equation allows us to obtain

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

which shows that non-zero a_i exist such that ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ can be defined in terms of ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$ Thus, the three vectors are linearly dependent.

Two vectors: Now consider the linear dependence of the two vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ and check,

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

or

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

The same row reduction presented above yields,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

This shows that ${\displaystyle a_{i}=0,}$ which means that the vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$ are linearly independent.

In order to determine if the three vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

are linearly dependent, form the matrix equation,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Row reduce this equation to obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearrange to solve for v₃ and obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

This equation is easily solved to define non-zero a_i,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

where ${\displaystyle a_{3}}$ can be chosen arbitrarily. Thus, the vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ are linearly dependent.

An alternative method relies on the fact that ${\displaystyle n}$ vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ are linearly independentif and only if the determinant of the matrix formed by taking the vectors as its columns is non-zero.

In this case, the matrix formed by the vectors is

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

We may write a linear combination of the columns as

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

We are interested in whether AΛ = 0 for some nonzero vector Λ. This depends on the determinant of ${\displaystyle A}$, which is

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Since the determinant is non-zero, the vectors ${\displaystyle (1,1)}$ and ${\displaystyle (-3,2)}$ are linearly independent.

Otherwise, suppose we have ${\displaystyle m}$ vectors of ${\displaystyle n}$ coordinates, with ${\displaystyle m<n.}$ Then A is an n×m matrix and Λ is a column vector with ${\displaystyle m}$ entries, and we are again interested in AΛ = 0. As we saw previously, this is equivalent to a list of ${\displaystyle n}$ equations. Consider the first ${\displaystyle m}$ rows of ${\displaystyle A}$, the first ${\displaystyle m}$ecuaciones; cualquier solución de la lista completa de ecuaciones también debe ser verdadera para la lista reducida. De hecho, si ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ es cualquier lista de${\displaystyle m}$filas, entonces la ecuación debe ser verdadera para esas filas.

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Además, lo contrario también es cierto. Es decir, podemos comprobar si el${\displaystyle m}$Los vectores son linealmente dependientes al comprobar si

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

para todas las listas posibles de${\displaystyle m}$filas. (En caso${\displaystyle m=n}$, esto requiere solo un determinante, como se indicó anteriormente. Si${\displaystyle m>n}$(Entonces, es un teorema que los vectores deben ser linealmente dependientes). Este hecho es valioso para la teoría; en los cálculos prácticos se dispone de métodos más eficientes.

Si hay más vectores que dimensiones, los vectores son linealmente dependientes. Esto se ilustra en el ejemplo anterior de tres vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Suponer${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son dos números reales tales que

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Calcula la primera derivada de la ecuación anterior:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

para todos los valores de${\displaystyle t.}$Necesitamos demostrar que${\displaystyle a=0}$y${\displaystyle b=0.}$Para ello, restamos la primera ecuación de la segunda, obteniendo:${\displaystyle be^{2t}=0}$. Desde${\displaystyle e^{2t}}$no es cero para algunos${\displaystyle t}$,${\displaystyle b=0.}$Resulta que${\displaystyle a=0}$también. Por lo tanto, según la definición de independencia lineal,${\displaystyle e^{t}}$y${\displaystyle e^{2t}}$son linealmente independientes.

Se dice que un conjunto de vectores es afínmente dependiente si al menos uno de sus vectores puede definirse como una combinación afín de los demás. En caso contrario, el conjunto se denomina afínmente independiente . Toda combinación afín es una combinación lineal; por lo tanto, todo conjunto afínmente dependiente es linealmente dependiente. Por el contrario, todo conjunto linealmente independiente es afínmente independiente. Cabe destacar que un conjunto afínmente independiente no es necesariamente linealmente independiente.

Consideremos un conjunto de${\displaystyle m}$vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$de tamaño${\displaystyle n}$cada uno, y consideremos el conjunto de${\displaystyle m}$vectores aumentados${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$de tamaño${\displaystyle n+1}$cada uno. Los vectores originales son afínmente independientes si y solo si los vectores aumentados son linealmente independientes. ^{[ 3 ] : 256}

Dos subespacios vectoriales${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que son linealmente independientes si${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$^{[ 4 ]} De manera más general, una colección${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$de subespacios de${\displaystyle X}$Se dice que son linealmente independientes si${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$para cada índice${\displaystyle i,}$dónde${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$^{[ 4 ]} El espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que es una suma directa de${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$si estos subespacios son linealmente independientes y${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$