Orden de inclusión

En el campo matemático de la teoría del orden , un orden de inclusión es el orden parcial que surge como la relación de inclusión de subconjuntos en alguna colección de objetos. De manera simple, todo poset P = ( X ,≤) es ( isomorfo a) un orden de inclusión (así como todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones – véase el teorema de Cayley ). Para ver esto, asociemos a cada elemento x de X el conjunto

${\displaystyle X_{\leq (x)}=\{y\in X\mid y\leq x\};}$

entonces la transitividad de ≤ asegura que para todo a y b en X , tenemos

${\displaystyle X_{\leq (a)}\subseteq X_{\leq (b)}{\text{ precisamente cuando }}a\leq b.}$

Puede haber conjuntos${\displaystyle S}$de cardinalidad menor que${\displaystyle |X|}$de tal manera que P es isomorfo al orden de inclusión en S. El tamaño del S más pequeño posible se llama la 2 dimensión de P.

Varias clases importantes de poset surgen como órdenes de inclusión para algunas colecciones naturales, como el retículo booleano Q ⁿ , que es la colección de todos los 2 ⁿ subconjuntos de un conjunto de n elementos, los órdenes de contención de intervalos , que son precisamente los órdenes de dimensión de orden como máximo dos, y los órdenes de dimensión n , que son los órdenes de contención en colecciones de n -cajas ancladas en el origen . Otros órdenes de contención que son interesantes por derecho propio incluyen los órdenes de círculo , que surgen de discos en el plano, y los órdenes de ángulo .

• Teorema de representación de Birkhoff
• Gráfico de intersección
• Orden de intervalo

• Fishburn, PC; Trotter, WT (1998). "Órdenes de contención geométrica: una revisión". Order . 15 (2): 167– 182. doi : 10.1023/A:1006110326269 . S2CID 14411154 . 
• Santoro, N., Sidney, JB, Sidney, SJ y Urrutia, J. (1989). "Contención geométrica y órdenes parciales". SIAM Journal on Discrete Mathematics . 2 (2): 245– 254. CiteSeerX 10.1.1.65.1927 . doi : 10.1137/0402021 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )