Combinación afín

En matemáticas , una combinación afín de x ₁ , ..., x _n es una combinación lineal

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}$

de tal manera que

${\displaystyle \suma _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

Aquí, x ₁ , ..., x _n pueden ser elementos ( vectores ) de un espacio vectorial sobre un campo K , y los coeficientes son elementos de K . ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Los elementos x ₁ , ..., x _n también pueden ser puntos de un espacio euclidiano y, más generalmente, de un espacio afín sobre un cuerpo K . En este caso son elementos de K (o para un espacio euclidiano), y la combinación afín es también un punto. Véase Espacio afín § Combinaciones afines y baricentro para la definición en este caso. ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Este concepto es fundamental en la geometría euclidiana y la geometría afín , porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forma el espacio afín más pequeño que contiene los puntos, exactamente como las combinaciones lineales de un conjunto de vectores forman su espacio lineal .

Las combinaciones afines conmutan con cualquier transformación afín T en el sentido de que

${\displaystyle T\suma _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\suma _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.}$

En particular, cualquier combinación afín de los puntos fijos de una transformación afín dada es también un punto fijo de , por lo que el conjunto de puntos fijos de forma un espacio afín (en 3D: una línea o un plano, y en los casos triviales, un punto o todo el espacio). ${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$

Cuando una matriz estocástica , A , actúa sobre un vector columna, b → , el resultado es un vector columna cuyas entradas son combinaciones afines de b → con coeficientes de las filas en A.

• Combinación convexa
• Combinación cónica
• Combinación lineal

• Espacio afín
• Geometría afín
• Casco afín

• Gallier, Jean (2001), Métodos geométricos y aplicaciones , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0. Véase el capítulo 2 .

• Notas sobre combinaciones afines.