Factorización de rango

En matemáticas , dado un campo , números enteros no negativos y una matriz , una descomposición por rangos o factorización por rangos de A es una factorización de A de la forma A = CF , donde y , donde es el rango de . ${\displaystyle \mathbb {F}}$${\estilo de visualización m,n}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$${\displaystyle C\in \mathbb {F} ^{m\times r}}$${\displaystyle F\in \mathbb {F} ^{r\times n}}$${\displaystyle r=\operatorname {rango} A}$${\estilo de visualización A}$

Toda matriz de dimensión finita tiene una descomposición en rangos: Sea una matriz cuyo rango de columna es . Por lo tanto, hay columnas linealmente independientes en ; equivalentemente, la dimensión del espacio columna de es . Sea cualquier base para el espacio columna de y colóquelas como vectores columna para formar la matriz . Por lo tanto, cada vector columna de es una combinación lineal de las columnas de . Para ser precisos, si es una matriz con como la -ésima columna, entonces ${\textstyle A}$${\textstyle m\times n}$${\textstyle r}$${\textstyle r}$ ${\textstyle A}$${\textstyle A}$${\textstyle r}$${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$${\textstyle A}$${\textstyle m\times r}$${\textstyle C={\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{1}&\mathbf {c} _{2}&\cdots &\mathbf {c} _{r}\end{bmatrix}}}$${\textstyle A}$${\textstyle C}$${\textstyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}}$${\textstyle m\times n}$${\textstyle \mathbf {a} _{j}}$${\textstyle j}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{j}=f_{1j}\mathbf {c} _{1}+f_{2j}\mathbf {c} _{2}+\cdots +f_{rj}\mathbf {c} _{r},}$

donde son los coeficientes escalares de en términos de la base . Esto implica que , donde es el -ésimo elemento de . ${\textstyle f_{ij}}$${\textstyle \mathbf {a} _{j}}$${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$${\textstyle A=CF}$${\textstyle f_{ij}}$${\textstyle (i,j)}$${\textstyle F}$

Si es una factorización de rango, tomando y da otra factorización de rango para cualquier matriz invertible de dimensiones compatibles. ${\textstyle A=C_{1}F_{1}}$${\textstyle C_{2}=C_{1}R}$${\textstyle F_{2}=R^{-1}F_{1}}$${\textstyle R}$

Por el contrario, si son dos factorizaciones de rango de , entonces existe una matriz invertible tal que y . ^[1]${\textstyle A=F_{1}G_{1}=F_{2}G_{2}}$${\textstyle A}$${\textstyle R}$${\textstyle F_{1}=F_{2}R}$${\textstyle G_{1}=R^{-1}G_{2}}$

En la práctica, podemos construir una factorización de rango específica de la siguiente manera: podemos calcular , la forma escalonada reducida por filas de . Luego se obtiene eliminando de todas las columnas que no sean pivotes (lo que se puede determinar buscando columnas en las que no contengan un pivote), y se obtiene eliminando todas las filas de ceros de . ${\textstyle B}$${\textstyle A}$${\textstyle C}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle F}$${\textstyle B}$

Nota: Para una matriz cuadrada de rango completo (es decir, cuando ), este procedimiento producirá el resultado trivial y (la matriz identidad ). ${\textstyle n=m=r}$${\textstyle C=A}$${\textstyle F=B=I_{n}}$${\textstyle n\times n}$

Considere la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}}$

${\textstyle B}$está en forma de escalón reducido.

Luego se obtiene eliminando la tercera columna de , la única que no es una columna pivote, y eliminando la última fila de ceros de , por lo que ${\textstyle C}$${\textstyle A}$${\textstyle F}$${\textstyle B}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Es fácil comprobarlo

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}}$

Sea una matriz de permutación tal que en forma particionada por bloques , donde las columnas de son las columnas pivote de . Cada columna de es una combinación lineal de las columnas de , por lo que existe una matriz tal que , donde las columnas de contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Por lo tanto , siendo , la matriz identidad. Ahora demostraremos que . ${\textstyle P}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle AP=(C,D)}$${\textstyle C}$${\textstyle r}$${\textstyle A}$${\textstyle D}$${\textstyle C}$${\textstyle G}$${\textstyle D=CG}$${\textstyle G}$${\textstyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$${\textstyle I_{r}}$${\textstyle r\times r}$${\textstyle (I_{r},G)=FP}$

La transformación a su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz que es un producto de matrices elementales , por lo tanto , donde . Luego podemos escribir , lo que nos permite identificar , es decir, las filas distintas de cero de la forma escalonada reducida, con la misma permutación en las columnas que hicimos para . Por lo tanto, tenemos , y como es invertible, esto implica , y la prueba está completa. ${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle E}$${\textstyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$${\textstyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$${\textstyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$${\textstyle (I_{r},G)=FP}$${\textstyle r}$${\textstyle A}$${\textstyle AP=CFP}$${\textstyle P}$${\textstyle A=CF}$

Si entonces también se puede construir una factorización de rango completo mediante una descomposición en valores singulares${\displaystyle \mathbb {F} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \},}$${\textstyle A}$

${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Sigma _{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}^{*}\\V_{2}^{*}\end{bmatrix}}=U_{1}\left(\Sigma _{r}V_{1}^{*}\right).}$

Dado que es una matriz de rango de columna completo y es una matriz de rango de fila completo, podemos tomar y . ${\textstyle U_{1}}$${\textstyle \Sigma _{r}V_{1}^{*}}$${\textstyle C=U_{1}}$${\textstyle F=\Sigma _{r}V_{1}^{*}}$

Una consecuencia inmediata de la factorización por rangos es que el rango de es igual al rango de su transpuesta . Dado que las columnas de son las filas de , el rango de columna de es igual a su rango de fila . ^[2]${\textstyle A}$${\textstyle A^{\textsf {T}}}$${\textstyle A}$${\textstyle A^{\textsf {T}}}$${\textstyle A}$

Demostración: Para ver por qué esto es cierto, definamos primero que rango significa rango de columna. Como , se deduce que . De la definición de multiplicación de matrices , esto significa que cada columna de es una combinación lineal de las columnas de . Por lo tanto, el espacio de columnas de está contenido dentro del espacio de columnas de y, por lo tanto, . ${\textstyle A=CF}$${\textstyle A^{\textsf {T}}=F^{\textsf {T}}C^{\textsf {T}}}$${\textstyle A^{\textsf {T}}}$${\textstyle F^{\textsf {T}}}$${\textstyle A^{\textsf {T}}}$${\textstyle F^{\textsf {T}}}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(F^{\textsf {T}}\right)}$

Ahora bien, es , por lo que hay columnas en y, por lo tanto, . Esto demuestra que . ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$${\textstyle n\times r}$${\textstyle r}$${\textstyle F^{\textsf {T}}}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq r=\operatorname {rank} \left(A\right)}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$

Ahora aplicamos el resultado a para obtener la desigualdad inversa: como , podemos escribir . Esto demuestra . ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$${\textstyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}=A}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(\left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$

Hemos demostrado, pues, y , así que . ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$