Teorema de nulidad

El teorema de nulidad es un teorema matemático sobre la inversa de una matriz particionada , que establece que la nulidad de un bloque en una matriz es igual a la nulidad del bloque complementario en su matriz inversa. Aquí, la nulidad es la dimensión del núcleo . El teorema fue demostrado en un contexto abstracto por Gustafson (1984) y para matrices por Fiedler y Markham (1986 ) .

Dividir una matriz y su inversa en cuatro submatrices:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.}$

La partición del lado derecho debe ser la transpuesta de la partición del lado izquierdo, en el sentido de que si A es un bloque de m por n , entonces E debe ser un bloque de n por m .

El enunciado del teorema de nulidad es ahora que las nulidades de los bloques de la derecha son iguales a las nulidades de los bloques de la izquierda ( Strang & Nguyen 2004 ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}}$

De forma más general, si una submatriz se forma a partir de las filas con índices { i ₁ , i ₂ , …, i _m } y las columnas con índices { j ₁ , j ₂ , …, j _n }, entonces la submatriz complementaria se forma a partir de las filas con índices {1, 2, …, N } \ { j ₁ , j ₂ , …, j _n } y las columnas con índices {1, 2, …, N } \ { i ₁ , i ₂ , …, i _m }, donde N es el tamaño de la matriz completa. El teorema de nulidad establece que la nulidad de cualquier submatriz es igual a la nulidad de la submatriz complementaria de la inversa.

• Gustafson, William H. (1984), "Una nota sobre la inversión de matrices", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 57 : 71–73 , doi : 10.1016/0024-3795(84)90177-0 , ISSN 0024-3795 .
• Fiedler, Miroslav; Markham, Thomas L. (1986), "Completar una matriz cuando se especifican ciertas entradas de su inversa", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 74 ( 1–3 ): 225–237 , doi : 10.1016/0024-3795(86)90125-4 , ISSN 0024-3795 .
• Strang, Gilbert ; Nguyen, Tri (2004), "La interacción de rangos de submatrices" (PDF) , SIAM Review , 46 (4): 637–646 , Bibcode : 2004SIAMR..46..637S , doi : 10.1137/S0036144503434381 , hdl : 1721.1/3885 , ISSN 1095-7200 .