Equivalencia de filas

En álgebra lineal , dos matrices son equivalentes por filas si una puede transformarse en la otra mediante una secuencia de operaciones elementales de fila . Alternativamente, dos matrices m × n son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas . Este concepto se aplica con mayor frecuencia a matrices que representan sistemas de ecuaciones lineales , en cuyo caso dos matrices del mismo tamaño son equivalentes por filas si y solo si los sistemas homogéneos correspondientes tienen el mismo conjunto de soluciones, o equivalentemente, las matrices tienen el mismo espacio nulo .  

Debido a que las operaciones elementales de fila son reversibles, la equivalencia de fila es una relación de equivalencia . Se suele denotar con una tilde (~). ^{[ 1 ]}

Existe una noción similar de equivalencia de columnas , definida por operaciones elementales de columna; dos matrices son equivalentes por columna si y solo si sus matrices transpuestas son equivalentes por fila. Dos matrices rectangulares que se pueden convertir una en la otra permitiendo operaciones elementales tanto de fila como de columna se denominan simplemente equivalentes .

Una operación elemental de fila es cualquiera de los siguientes movimientos:

1. Intercambio: Intercambia dos filas de una matriz.
2. Escala: Multiplica una fila de una matriz por una constante distinta de cero.
3. Pivote: Suma un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

Dos matrices A y B son equivalentes por filas si es posible transformar A en B mediante una secuencia de operaciones elementales de fila.

El espacio fila de una matriz es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores fila. Si las filas de la matriz representan un sistema de ecuaciones lineales , entonces el espacio fila consta de todas las ecuaciones lineales que se pueden deducir algebraicamente de las del sistema. Dos matrices m × n son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio fila.  

Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{y}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

son equivalentes por filas, siendo el espacio de filas todos los vectores de la forma${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$Los sistemas de ecuaciones homogéneas correspondientes transmiten la misma información:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{y}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

En particular, ambos sistemas implican cada ecuación de la forma${\displaystyle ax+by+bz=0.\,}$

El hecho de que dos matrices sean equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas es un teorema importante en álgebra lineal. La demostración se basa en las siguientes observaciones:

1. Las operaciones elementales de fila no afectan el espacio de filas de una matriz. En particular, dos matrices equivalentes por filas cualesquiera tienen el mismo espacio de filas.
2. Cualquier matriz puede reducirse mediante operaciones elementales de fila a una matriz en forma escalonada reducida por filas .
3. Dos matrices en forma escalonada reducida por filas tienen el mismo espacio por filas si y solo si son iguales.

Este razonamiento también demuestra que toda matriz es equivalente por filas a una matriz única con forma escalonada reducida por filas.

• Dado que el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal del espacio fila , dos matrices son equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio nulo.
• El rango de una matriz es igual a la dimensión del espacio fila, por lo que las matrices equivalentes por filas deben tener el mismo rango. Esto equivale al número de pivotes en la forma escalonada reducida por filas.
• Una matriz es invertible si y solo si es equivalente por filas a la matriz identidad .
• Las matrices A y B son equivalentes por filas si y solo si existe una matriz invertible P tal que A=PB . ^{[ 2 ]}

• Operaciones elementales de fila
• Espacio entre filas
• Base (álgebra lineal)
• Reducción de filas
• Forma escalonada de filas (reducida)